苏科版数学九年级下册5.5用二次函数解决问题之几何最值培优练习

试卷更新日期：2026-04-15 类型：复习试卷

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一、线段最值

1. 如图，已经抛物线经过点 $O (0, 0)$ ， $A (5, 5)$ ，且它的对称轴为 $x = 2$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点 $B$ 是抛物线对称轴上的一点，且点 $B$ 在第一象限，当 $△ O A B$ 的面积为15时，求 $B$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下， $P$ 是抛物线上的动点，当 $P A - P B$ 的值最大时，求 $P$ 的坐标以及 $P A - P B$ 的最大值

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2. 如图在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ 和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点 $D (- 1, 3)$ ，与y轴交于点E．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使 $△ A D F$ 面积等于 $△ A D B$ 的面积？若存在，请求出点F的坐标．
②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使 $△ A D Q$ 的面积为 $\frac{27}{2}$ ，请直接写出点Q的坐标．

(3)、点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且 $A M = E N$ ，请求出 $E M + O N$ 的最小值．

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们给出如下定义：对于两点 $A$ 、 $B$ ，平面直角坐标系中存在一点 $P$ ，使得 $∠ A P B = α °$ ，则称 $P$ 为线段 $A B$ 的“ $α ° -$ 奇妙点”．例如：如图1， $∠ A P B = 90 °$ ， $P$ 为线段 $A B$ 的“ $90 ° -$ 奇妙点”．

(1)、已知点 $A (- 2, 0)$ ，点 $B (2, 0)$ ．下列是线段 $A B$ 的“ $90 ° -$ 奇妙点”的有；
① $(0, 2)$ ；② $(0, 2 \sqrt{3})$ ；③ $(2, 4)$ ；④ $(0, - 2)$

(2)、如图2，已知直线 $y = x - 1$ 上有两点 $A (m, y_{1})$ 、 $B (m + 2, y_{2})$ ，若x轴上存在线段 $A B$ 的“ $90 ° -$ 奇妙点”，求m的取值范围；

(3)、如图3，二次函数 $y = a x^{2} - 1 (a > 0)$ 与x轴交于 $A (x_{1}, 0)$ 、B两点，直线 $l : y = \sqrt{3} a x + 1$ 与抛物线交于 $A$ 、 $E$ 两点，连接 $B E$ ，已知点 $P$ 为直线 $B E$ 上方一点，点 $P$ 为线段 $B E$ 的“ $60 ° -$ 奇妙点”，连接 $A P$ ，点 $F$ 是线段 $A P$ 上一点且 $A F = \frac{1}{3} A P$ ，连接 $O F$ ，求 $O F$ 的最大值．

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4. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过点 $A (- 5, 0)$ ，点 $B (- 1, - 2)$ ．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点 $Q (- 4, 0)$ 作y轴的平行线，交直线 $A P$ 于点M，交直线 $O P$ 于点N，当点P运动时， $4 Q M + Q N$ 的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；

(3)、如图3，长度为 $\sqrt{5}$ 的线段 $C D$ （点C在点D的左边）在射线 $A B$ 上移动（点C在线段 $A B$ 上），连接 $O D$ ，过点C作CE $∥$ OD交抛物线于点E，线段 $C D$ 在移动的过程中，直线 $C E$ 经过一定点F，直接写出定点F的坐标与 $\frac{F C}{E C}$ 的最小值．

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5. 近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO ， BC是两根水泥柱，AO ， BC垂直于地面上的水平线OC ，且 $A O = B C = 2$ 米， $O C = 8$ 米，以OC所在直线为 $x$ 轴，OA所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式 $y = a x^{2} + x + c (a, c$ 为常数，且 $a \neq 0)$ ．

(1)、求顶棚抛物线的函数关系式；

(2)、为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE ， FG ， DE，FG两根钢条之间用钢条MN连接， $M N = 2$ 米， $D E ⊥ O C, F G ⊥ O C, M N / / O C$ （D ， F在抛物线上，E ， G在OC上，分别在DE ， FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．

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6. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 $l$ 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口 $H$ 离地竖直高度为 $h$ （单位： $m$ ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 3 m$ ，竖直高度为 $E F$ 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 $A$ 离喷水口的水平距离为 $2 m$ ，高出喷水口 $0.5 m$ ，灌溉车到 $l$ 的距离 $O D$ 为 $d$ （单位： $m$ ）．

(1)、若 $h = 1.5$ ， $E F = 0.5 m$ ；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $O C$ ；
②求下边缘抛物线与 $x$ 轴的正半轴交点 $B$ 的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 $d$ 的取值范围；

(2)、若 $E F = 1 m$ ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 $h$ 的最小值．

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7. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 $y = - x + 3$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 $y = - x^{2} + m x + n$ 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．

(1)、如图1，求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点D为直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，连接 $A C$ 、 $C D$ ，设直线 $B C$ 交线段 $A D$ 于点E，求 $\frac{D E}{A E}$ 的最大值；

(3)、如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线 $P Q$ 解析式为 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，连接 $A P$ 、 $A Q$ ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有 $M O$ 与 $N O$ 的积等于2．试探究直线 $P Q$ 是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

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8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B (- 6, 0)$ 和点 $C (2, 0)$ ，连接 $A B$ 、 $A Q$ 、 $B Q$ ， $B Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ .

(1)、求抛物线表达式；

(2)、点 $Q (1 ， \frac{7}{3})$ ，点 $M$ 在 $x$ 轴上，点 $E$ 在平面内，且四边形 $A N E M$ 是平行四边形.
①求点 $E$ 的坐标；
②设射线 $A M$ 与 $B N$ 相交于点 $P$ ，交 $B E$ 于点 $H$ ，将 $△ B P H$ 绕点 $B$ 旋转一周，旋转后的三角形记为 $△ B P_{1} H_{1}$ ，求 $B P_{1} + \sqrt{2} O H_{1}$ 的最小值.

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二、面积最值

9. 某家禽养殖场，用总长为 $200 m$ 的围栏靠墙（墙长为 $65m$ ）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 $E A G H$ 与矩形 $H G B F$ 面积相等，矩形 $E A G H$ 面积等于矩形 $D E F C$ 面积的二分之一，设 $A D$ 长为 $x m$ ，矩形区域 $A B C D$ 的面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x$ 为何值时， $y$ 有最大值？最大值是多少？

(3)、现需要在矩形 $E A G H$ 和矩形 $D E F C$ 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出 $x$ 的取值范围．

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ，点P是直线 $A C$ 上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，过点P作 $P Q ⊥ A C$ 于点Q，当 $P Q$ 的值最大时，求点P的坐标及 $P Q$ 的最大值；

(3)、过点P作x轴的平行线交直线 $A C$ 于点M，连接 $C P$ ，将 $△ C P M$ 沿直线 $C P$ 翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于点 $A (- 2, 0) ， B (4, 0)$ ，与y轴交于点C，点D为 $B C$ 的中点．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点G是该抛物线对称轴上的动点，若 $G A + G C$ 有最小值，求此时点G的坐标；

(3)、若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求 $△ B D P$ 面积的最大值；

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点 $C (0, - 2)$ ，顶点为 $D (1, - 3)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，点 $E (\frac{5}{2}, - \frac{3}{4})$ 是抛物线上一点，在直线 $C E$ 下方的抛物线上有一动点P．连接 $C P ， E P$ ，求 $△ C P E$ 的面积最大值与此时点P的横坐标；

(3)、如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转 $90 °$ 得到对应点H，直线 $H D$ 交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由．

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