苏科版数学八年级下册第11章二次根式计算题专项练习

试卷更新日期：2026-04-15 类型：复习试卷

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一、混合运算

1. 计算： $\frac{4}{\sqrt{5} + 1} - 2 0^{\frac{1}{2}} + | 2 - \sqrt{5} | + (\frac{1}{2})^{- 3}$ .

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2. 计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{6}} \times \sqrt{12} - \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ．

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3. 计算： $- {(\frac{1}{2})}^{- 2} + |- \sqrt[3]{27}| + {(\sqrt{2021} - π)}^{0} - \frac{1}{\sqrt{2}}$ ．

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4. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{3}{5}} \times \sqrt{10};$

(2)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{27};$

(3)、 $\sqrt{2 \frac{3}{4}} \times \sqrt{\frac{2}{11}};$

(4)、 $\sqrt{0.5} \times \sqrt{1.5};$

(5)、 $\sqrt{1.2 \times 1 0^{5}} \times \sqrt{2 \times 1 0^{2}} .$

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二、化简求值

5. 已知 $x = \sqrt{2} - 1$ ， $y = \sqrt{2} + 1$ ，求 $x^{2} y + x y^{2}$ 的值．

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6. 已知， $x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ．求：

(1)、 $x + y$ 和 $x y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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7. 已知 $x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}, y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}},$ 求 $\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$ 的值.

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8. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4} \div (x + 2 - \frac{2 x - 4}{x - 2})$ ，其中 $x = - 2 + \sqrt{2}$ ．

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9. 先化简，再求值： $\frac{m}{m + 1} \div \frac{m^{2} + 2 m}{m^{2} - 1} + (1 + \frac{1}{m + 1}) \cdot \frac{2 m + 2}{m^{2} + 4 m + 4}$ ，其中 $m = - \sqrt{3}$ ．

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10. 已知 $a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ， $b = \frac{2}{3 + \sqrt{7}}$ ．

(1)、求 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值；

(2)、求 $- a^{2} + 6 a + 2025$ 的值．

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11. 我们知道 $(\sqrt{13} + 3) (\sqrt{13} - 3) = 4$ ，因此在计算 $\frac{1}{\sqrt{13} - 3}$ 时，分子和分母同时乘以 $\sqrt{13} + 3$ ，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．

(1)、化简： $\frac{1}{4 + \sqrt{15}}$ ；

(2)、若 $a = \frac{1}{3 - \sqrt{7}}$ ，求 $4 a^{2} - 12 a + 5$ 的值；

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12. 已知 $a = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}, b = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ．

(1)、求 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值；

(2)、若 $m$ 为 $b$ 的小数部分，求 $m$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求 $m^{3} + 3 m^{2} - 5 m + 2022$ 的值．

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13. 阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一） $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5}{3} \sqrt{3}$ ；
（二） $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \sqrt{3} - 1$ ；
以上这种化简的方法叫分母有理化．

(1)、化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} =$ ______．

(2)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{21} + \sqrt{19}}$ ．

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三、规律探索

14. 观察下列等式：
第一个等式： $a_{1} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$
第二个等式： $a_{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
第三个等式： $a_{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
按上述规律，回答以下问题：

(1)、按上面规律填空： $a_{4} =$ ______ $=$ _____ $=$ ______；

(2)、利用以上规律计算： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024}$ ；

(3)、求 $(\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}) \times (\sqrt{7} + 1)$ 的值．

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15. 观察与计算：
$\sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 6$ ； $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ ；
$3 \sqrt{7} \times (- \frac{1}{3} \sqrt{7}) =$ __________； $(2 \sqrt{5} + \sqrt{2}) (2 \sqrt{5} - \sqrt{2}) =$ __________．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ； $\frac{6}{\sqrt{8}} = \frac{6}{2 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1$ ；
【应用】
（1）化简：
① $\frac{7}{\sqrt{27}}$ ；
② $\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ；
（2）化简： $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2022}}$ ．

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16. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ ，以上这种化简叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 $a + b = 2$ ， $a b = - 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ ．我们可以把 $a + b$ 和 $a b$ 看成是一个整体，令 $x = a + b$ ， $y = a b$ ，则 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = x^{2} - 2 y = 4 + 6 = 10$ ．这样，我们不用求出 $a, b$ ，就可以得到最后的结果．
【解决问题】

(1)、仿照上面的解题过程，化简： $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} =$ ______．

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ ．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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17. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{{(\sqrt{6})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$
请回答下列问题：

(1)、观察上面的解答过程，请写出 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ _____；

(2)、利用上面的解法，请化简： $\frac{3}{1 + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots .. + \frac{3}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}}$

(3)、 $\sqrt{13} - \sqrt{12}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的值哪个较大，请说明理由．

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18. 阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{10} - 3} =$ ； $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} =$ ．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) (\sqrt{2023} + 1)$ ．

(3)、已知m是正整数， $a = \frac{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}$ ， $b = \frac{\sqrt{m + 1} + \sqrt{m}}{\sqrt{m + 1} - \sqrt{m}}$ ， $a + b + 3 a b = 2021$ ，求m．

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四、创新应用

19. 阅读理解：
我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解 $\sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x} = 2$ 这个方程时，可采用如下方法：
解： $∵ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = {(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2} = a - b$ ，
$∴ (\sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x}) (\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x}) = {(\sqrt{12 - x})}^{2} - {(\sqrt{4 - x})}^{2} = (12 - x) - (4 - x) = 8$ ．
又 $∵ \sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x} = 2$ ……①，
$∴ 2 (\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x}) = 8$ ，
即 $\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x} = 4$ ……②．
由 $① + ②$ 得： $2 \sqrt{12 - x} = 6$ ，
即 $\sqrt{12 - x} = 3$ ，
在这个方程的两边同时平方得： $12 - x = 9$ ，
解得： $x = 3$ ．
将 $x = 3$ 代入原方程检验，可得 $x = 3$ 是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：

(1)、若 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的“对偶式” $b$ 为_____， $a \times b =$ __________；

(2)、解方程： $\sqrt{x^{2} + 6} + \sqrt{x^{2} + 1} = 5$ ．

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20. 阅读材料：像 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ （ $a > 0$ ）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如： $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ ， $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \times (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 1$ …，那么 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ ，
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \sqrt{6} + 2$ ．

(1)、请用以上方法化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} =$ ________；（直接填空）

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}$ （没有过程不给分）

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $5 a^{2} - 10 a - 1$ 的值．

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