沪科版数学九年级下册24.4直线与圆的位置关系解答题专项练习

试卷更新日期：2026-04-15 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $O$ 是 $A C$ 上（异于点 $A$ ， $C$ ）的一点， $⊙ O$ 恰好经过点 $A$ ， $B$ ， $A D ⊥ C B$ 于点 $D$ ，且 $A B$ 平分 $∠ C A D$ ．

(1)、判断 $B C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A C = 10$ ， $D C = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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2. 如图， AB是⊙O的直径， C是 $\hat{B D}$ 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.

(1)、求证： △ACE∽△ABC；

(2)、求证： CE 是⊙O的切线；

(3)、若 $A D = 2 C E, O A = \sqrt{2},$ 求阴影部分的面积.

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， O是 $A B$ 上一点，以 $O A$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切，切点为D ，连接 $A D$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 相交于点E ．

(1)、求证： $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线；

(2)、若 $A C = 3$ ， $∠ B = 30 °$ ．
①求 $⊙ O$ 的半径；
②设 $⊙ O$ 与 $A B$ 边的另一个交点为E ，求线段 $B D$ 、 $B E$ 与劣弧 $D E$ 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

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4. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， $∠ A B C$ 的平分线交⊙O于点D， $D E ⟂ B C$ 于点E.

(1)、试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.

(2)、过点 D 作. $D F ⟂ A B$ 于点F，若 $B E = 3 \sqrt{3} ， D F = 3 ，$ 求图中阴影部分的面积.

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5. 独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点P，且 $P D ⊥ B C$ ，垂足为点D．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan C = \frac{1}{2}, B D = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 相交于点P，若 $∠ A D C = 24 °$ ．

(1)、如图①，求 $∠ C A B$ 的度数；

(2)、如图②，过点C作 $⊙ O$ 的切线，与 $B A$ 的延长线交于点E，若 $E P = E C$ ，求 $∠ D A P$ 的度数．

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B D .$ 若 $∠ E A D + ∠ B D F = 180 °$ ．

(1)、求证： $E F$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $B E = 10$ ， $s i n ∠ B D C = \frac{2}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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8. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段 $D E$ 为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点， $D E$ 与 $⊙ O$ 相切于点C，点A，B，F均在 $⊙ O$ 上，且 $O A ， O B ， O F$ 为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线）， $O F ， O B$ 的延长线分别与 $D E$ 相交于点E，D，连接 $A C ， B C$ ，已知 $O E ∥ B C$ ．

(1)、求证： $O F ⊥ A C$ ；

(2)、若 $O E = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{7}$ ，求 $B C$ 的长．

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9. 如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $C E$ 是圆 $O$ 的切线， $D$ 是圆 $O$ 上的一点， $C E ⊥ D A$ 的延长线于点 $E$ ， $A B$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，若圆 $O$ 的半径为 $5$ ， $sin B = \frac{3}{5}$ 时，求 $C E$ 的长．

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10. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C是 $⊙ O$ 外一点，点D在 $⊙ O$ 上，且 $B C = B D$ ，连接CD交 $⊙ O$ 于点E ．过点E作 $E F ⊥ A B$ 于点H ，交BD于点G ，交 $⊙ O$ 于点F ，且 $∠ D G F = 2 ∠ D$ ．

(1)、求证：CB是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接BE ，若 $E G = 3$ ， $G F = 2$ ，求BE的长和 $⊙ O$ 的半径．

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11. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，经过A ， C两点的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点D ，连接 $C O$ 并延长交 $A B$ 于点 F ，作 $D E ∥ C F$ 交 $B C$ 于点E.

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 4$ ， $A F = \sqrt{2}$ ，求 $C F$ 的长；

(3)、如图2，将 $C F$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ 到 $C G$ ，点F和点G对应，连接 $G B$ ，求 $∠ A B G$ 的大小.

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二、提升拓展

12. 如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上， $∠ B A F$ 的平分线AE交⊙O于点E，过点E作 $E D ⊥ A F$ ，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为5， $\tan ∠ E A D = \frac{1}{2}$ ，求BC的长．

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13. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是 $\overset{⏜}{A C}$ 上的一点， $A G$ ， $D C$ 的延长线交于一点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = ∠ F G C$ ．

(2)、过 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $D G$ 的延长线于点 $K$ ， $D G$ 与 $A B$ 交于点 $M$ ，若 $t a n ∠ F G C = \frac{4}{3}$ ，点 $G$ 是 $\overset{⏜}{A C}$ 的中点时， $C D = 6$ ，求 $M K$ 的长．

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14. 如图， $A B, C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 在 $\overset{⌢}{B D}$ 上，连接 $A E, D E$ ，点 $G$ 在 $B D$ 的延长线上， $A B = A G, ∠ E A D + ∠ E D B = 45 °$ ．

(1)、求证： $A G$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $B G = 4 \sqrt{5}, sin ∠ D A E = \frac{1}{3}$ ，求 $D E$ 的长．

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15. 如1图， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，C为 $⊙ O$ 上一点，点D为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $A D ， C D$ ，过点C作 $C E ∥ A D$ ，交 $A B$ 于点E，连接 $D B$ ．

(1)、连接 $B C$ ，求证： $B D$ 垂直平分 $C E$ ．

(2)、如2图，过点D作 $⊙ O$ 的切线交 $E C$ 的延长线于点F，连接 $O D$ 交 $E F$ 于点M，连接 $D E$ ，若 $D C ⊥ D E$ 且 $A D = \sqrt{2}$ ，求 $E M$ 的长．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 内，直线 $B C$ 分别交x轴、y轴于点B、点C ， $B (- 4, 0)$ ， $C (0, 2)$ ，点A是x轴上一点， $⊙ A$ 的半径为 $\sqrt{5} ．$

(1)、当点A与坐标原点O重合时， $⊙ A$ 与直线 $B C$ 交于点D、E ，求 $D E$ 的长度；

(2)、若点A在x轴上移动，当 $⊙ O$ 与直线 $B C$ 相切时，求点A的坐标．

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三、创新应用

17. 如图， $B E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C为 $⊙ O$ 外一点，过点 C作 $C D ⊥ B E$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点F，连接 $B C$ ，与 $⊙ O$ 相交于点A，点P为线段 $F C$ 上一点，且 $A P = C P$

(1)、求证： $A P$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点F为 $\overset{⌢}{A E}$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为5， $A B = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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18. 【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与 $⊙ O$ 相离，点P在直线l上运动，过点P作 $⊙ O$ 的切线，切点为A，则 $P A$ 的长是否存在最小值？
小明探究后发现，当 $O P ⊥$ 直线l时， $P A$ 的长最小．
请帮小明证明该结论：
【理解内化】（2）如图2，正方形 $A B C D$ 的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是 $B C$ 边上动点，过点P作 $⊙ O$ 的切线，切点为E，则 $P E$ 的取值范围为______．
【拓展应用】（3）如图3，直线 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的 $⊙ P$ 作右侧作切线，切点为E．则四边形 $C P E D$ 面积的最小值为______．
（4）在平面直角坐标系中， $⊙ A$ 的半径为2， $A (0, 4)$ ，过直线 $y = k x (k \neq 0)$ 上一点P，作 $⊙ A$ 的切线，切点为E， $△ P A E$ 最小面积为S．若 $1 \leq S \leq \frac{3}{2}$ ．请直接写出k的取值范围．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为2．对于直线l和线段 $B C$ ，给出如下定义：若将线段 $B C$ 关于直线l对称，可以得到 $⊙ O$ 的弦 $B^{'} C^{'}$ ( $B^{'}$ ， $C^{'}$ 分别是B，C的对应点)，则称线段 $B C$ 是以直线l为轴的 $⊙ O$ 的“关联线段”．例如，图1中线段 $B C$ 是以直线l为轴的 $⊙ O$ 的“关联线段”．

(1)、如图2，点 $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ 的横、纵坐标都是整数．
① 在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B_{2} C_{2}$ ， $B_{3} C_{3}$ 中，以直线 $l_{1}$ ： $y = x + 4$ 为轴的 $⊙ O$ 的“关联线段”是；
② 在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B_{2} C_{2}$ ， $B_{3} C_{3}$ 中，存在以直线 $l_{2}$ ： $y = - x + b$ 为轴的 $⊙ O$ 的“关联线段”，求b的值；

(2)、已知直线 $l_{3}$ ： $y = - \sqrt{3} x + m (m > 0)$ 交x轴于点A．在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 2$ ，若线段 $B C$ 是以直线 $l_{3}$ 为轴的 $⊙ O$ 的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的 $A C$ 的长．

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20. 如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出尺度的直尺．不可能把这个角三等分．其实，在数学上，从未没有不允许使用其他工具来三等分一个角度．为了实现这一目的．人们想出了很多机械工具，并把这种工具称为三分角器，我们每个人都可以制作出这样一个三分角器，用厚纸板或者薄铁片都可以，这样，绘图的时候就可以使用它了．如图 $1$ 所示的阴影部分就是一个实际大小的三分角器，其简图如图2所示．已知A、B、O三点共线，其中 $A B = O B$ ， $B D ⊥ A C$ ，以点O为圆心， $B C$ 为直径作圆，直线 $B D$ 与 $⊙ O$ 相切于点B， $∠ K S M$ 的顶点S放到这个三分角器的直线 $B D$ 上， $∠ K S M$ 的一边过点A、另一边 $S M$ 与 $⊙ O$ 相切于点N， $S O$ 与 $⊙ O$ 相交于点Q．

(1)、求证： $∠ K S B = \frac{1}{3} ∠ K S M$

(2)、连接 $C N$ ，如果 $B S = \sqrt{5} C N$ ，求 $\tan ∠ B O S$ 的值；

(3)、连接 $B N$ ，记 $△ S B O$ ， $△ B O Q$ ， $△ B N C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $5 S_{2} = S_{1} + S_{3}$ ， $O B =$ 1，求 $C N$ 的长．

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