专题03 分式—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-12 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 代数式 $\frac{2}{5} x, \frac{1}{n}, \frac{2}{x^{2} + 4}, - \frac{2}{3}, \frac{1}{x}, \frac{x + 1}{x + 2}$ 中，属于分式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 已知分式 $\frac{2 x + b}{x + a}$ (a，b为常数)满足下面的表格，则下列结论中错误的是 ( )
x 的值
2
-2
3
d
分式的值
无意义
0
c
-6

A、a=-2 B、b=4 C、c=10 D、d=-1

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3. 下列等式一定成立的是（）

A、 $\frac{3}{4} = \frac{3 + a}{4 + a}$ B、 $\frac{a - c}{b - c}$ = $\frac{a}{b}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ D、 $\frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{2 x}{y}$

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4. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（）

A、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ 约分的结果是 $\frac{1}{x}$ B、分式 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 与 $\frac{1}{x - 1}$ 的最简公分母是x﹣1 C、 $\frac{2 x}{x^{2}}$ 约分的结果是1 D、化简 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的结果是1

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6. 已知 A 为整式，若计算 $\frac{A}{x y + y^{2}} -$ $\frac{y}{x^{2} + x y}$ 的结果为 $\frac{x - y}{x y},$ 则A=( )

A、x B、y C、x+y D、x-y

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7. 设 $a < b < 0$ ， $a^{2} + b^{2} = 4 a b$ ，则 $\frac{a + b}{a - b}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、3

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8. 已知： $m^{2} - m - 2025 = 0$ ，则 $(\frac{m + 1}{m} - m - 1) \cdot \frac{m^{2}}{m + 1}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2025}$ B、 $- \frac{1}{2025}$ C、2025 D、 $- 2025$

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9. 如图，若 $x$ 为正整数，则表示 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{1}{x + 1}$ 的值的点落在（　　）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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10. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f}$ $= \frac{1}{u} + \frac{1}{v} （ v \neq f ）$ 表示，其中 $f$ 表示照相机镜头的焦距， $u$ 表示物体到镜头的距离， $v$ 表示胶片（像）到镜头的距离．已知 $f ， v$ ，则 $u =$ （）

A、 $\frac{f v}{f - v}$ B、 $\frac{f - v}{f v}$ C、 $\frac{f v}{v - f}$ D、 $\frac{v - f}{f v}$

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二、填空题

11. 使得函数 $y = \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是.

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12. 计算： $2^{- 1} - {(π - 2025)}^{0} =$ ．

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13. 分式 $\frac{2 a^{2} b^{2}}{4 a^{3} b}$ 化成最简分式为．

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14. 定义新运算： $a \oplus b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，若 $a \oplus (- b) = 3$ ，则 $\frac{3 a b}{2 a - 2 b}$ 的值是．

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15. 盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是 $\frac{2}{3},$ 则 $\frac{b}{a - b}$ 的值为.

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16. 在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，串联时总劲度系数 $k$ 满足公式 $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ ，已知 $k_{1} + k_{2} = 25$ 且 $k_{1} k_{2} = 100$ ，则总劲度系数 $k =$ ．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - 2 cos 45 ° + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} - {(π - 1)}^{0} - |- \sqrt{2}|$

(2)、 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 4} - \frac{1}{x}$ ．

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18. 计算：

(1)、 $(x^{2} - y^{2}) \div \frac{x y - y^{2}}{x + y}$ ；

(2)、 $\frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 2 m + 1} \div \frac{m^{2} - m}{1 + m}$ ．

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19. 先化简 $(1 - \frac{a}{a + 2}) \div \frac{2}{a^{2} - 4},$ 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.

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20. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a - 2} - \frac{2}{a^{2} - 4}) \div \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 4}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 2$ ．

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21. 先化简，再求值： $\frac{x + 6}{x^{2} - 4} - \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x}$ ，其中x为分式方程 $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3}{2 - x} = 1$ 的根．

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22. 先化简，再求值： $\frac{m^{3} - 2 m^{2}}{m^{2} - 4 m + 4} \div (\frac{9}{m - 3} + m + 3)$ ，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．

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23. 小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。

豆包给出分析：

这个解答从第 ▲ 步开始出现错误；

虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。

正确解答为： $\frac{x ² + 2}{x + 1} - \frac{3}{1 + x}$ ，其中x=1

解：原式=

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24. 阅读理解：
定义：若分式 $A$ 和分式 $B$ 满足 $A - B = n$ （ $n$ 为正整数），则称 $A$ 是 $B$ 的“ $n$ 差分式”．
例如： $\frac{3 x}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = 3 ，$ 我们称 $\frac{3 x}{x - 1}$ 是 $\frac{3}{x - 1}$ 的“ $3$ 差分式”，
解答下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{1 - x}$ 是分式 $\frac{x}{1 - x}$ 的“ 差分式”．

(2)、分式 $A = \frac{C}{9 - x^{2}}$ 是分式 $B = \frac{2 x}{3 - x}$ 的“ $2$ 差分式”．
① $C =$ （含 $x$ 的代数式表示）；
②若 $A$ 的值为正整数， $x$ 为正整数，求 $A$ 的值．

(3)、已知 $x y = 2$ ，分式 $\frac{x - 3 y}{y}$ 是 $- \frac{y + x}{x}$ 的“ $4$ 差分式”（其中 $x ， y$ 为正数），求 $(x - y)$ 的值．

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x 的值	2	-2	3	d
分式的值	无意义	0	c	-6