专题02 整式及其因式分解—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-12 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“ $BMI$ ”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为 $BMI = \frac{m}{h^{2}}$ （m表示体重，单位：公斤；h表示身高，单位：米），成年人 $BMI$ 数值标准见表：
BMI范围
$BMI < 18.5$
$18.5 \leq BMI < 24$
$24 \leq BMI < 28$
$BMI \geq 28$
胖瘦程度
偏瘦
正常
偏胖
肥胖
已知某位成年人身高1.6米，体重64公斤，则该成年人胖瘦程度为（）

A、偏瘦 B、正常 C、偏胖 D、肥胖

查看试题解析
2. 观察下列单项式：﹣xy，x²y³ ， ﹣x³y⁵ ， x⁴y⁷ ， ⋯，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（　　）

A、﹣x¹⁵y²⁷ B、﹣x¹⁵y²⁹ C、x¹³y²⁷ D、x¹³y²⁹

查看试题解析
3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$ C、2a+2b=2ab D、 ${(- a b)}^{3} = - a^{3} b^{3}$

查看试题解析
4. 已知 $a = 2^{15}, b = 3^{10}, c = 7^{5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

查看试题解析
5. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是（）

A、205 B、250 C、502 D、520

查看试题解析
6. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、无法确定

查看试题解析
7. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a x + a y = a (x + y) + 1$ B、 $3 a + 3 b = 3 (a + b)$ C、 $a^{2} + 4 a + 4 = {(a + 4)}^{2}$ D、 $a^{2} + b = a (a + b)$

查看试题解析
8. 把多项式x²＋ax＋b分解因式，得(x＋2)(x－3)，则a，b的值分别是（）

A、a＝1，b＝6 B、a＝－1，b＝－6 C、a＝－1，b＝6 D、a＝1，b＝－6

查看试题解析
9. 与 $395^{2} + 2 \times 395 \times 5 + 5^{2}$ 相等的是（）

A、 ${(395 - 5)}^{2}$ B、 $(395 + 5) (395 - 5)$ C、 ${(395 + 5)}^{2}$ D、 ${(395 + 10)}^{2}$

查看试题解析
10. 对任意整数n， ${(2 n + 1)}^{2} - 25$ 都能 ( )

A、被 3 整除 B、被 4 整除 C、被5 整除 D、被 6 整除

查看试题解析

二、填空题

11. 因式分解：4a³-16a²+16a=

查看试题解析
12. 若 $x = - \sqrt{a} - 1,$ 则 $x^{5} + 2 x^{4} - a x^{3} - x^{2} + (a + 1) x - a =$ .

查看试题解析
13. 如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 分别表示其中的一个数，则 $a + b - c - d - e$ 的值为．
$a$
$b$
0
$- 2$
3
$c$
$d$
$e$
1

查看试题解析
14. 有两个正方形 $A$ ， $B$ ，现将 $B$ 放在 $A$ 的内部如图①，将 $A$ ， $B$ 并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{13}{4}$ ，则正方形 $A$ ， $B$ 的面积之和为．

查看试题解析
15. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律(如图)，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)"(n=0， 1， 2， 3， 4， …)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序).请依据上述规律，写出 ${(a + 1)}^{5}$ 展开式中第三项的系数是．

查看试题解析
16. 数学家高斯在小的时候就发现： $1 + 100 = 101$ ， $2 + 99 = 101 \dots$ ，从而得到 $1 + 2 + 3 + \dots + 100 = 101 \times 50 = 5050$ ．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作 $a_{1} = 1$ ；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作 $a_{2} = 5$ ；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作 $a_{3} = 9$ ；按此方法继续下去，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots \dots + a_{n} =$ ．（结果用含 $n$ 的代数式表示）

查看试题解析

三、解答题

17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{3}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = (\frac{1}{3})^{- 1}$

查看试题解析
18. (1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25.
(2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)²－a²－b²＋4b(a－b)]÷(2b)的值．

查看试题解析
19. 下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
（1）计算： $(2 a - 3 b) (2 a + 3 b)$ ．
解：原式 $= {(2 a)}^{2} - {(3 b)}^{2} = 4 a^{2} - 9 b^{2}$ ．
（2）计算： $(2 a - 3 b) (a + 3 b)$ ．
解：原式 $= 2 a^{2} - {(3 b)}^{2} = 2 a^{2} - 9 b^{2}$ ．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算： ${(2 a - 3 b)}^{2}$ ．

查看试题解析
20. 如图，有三种卡片，其中边长为 $a$ 的正方形卡片有4张，边长分别为 $a, b$ 的矩形卡片有12张，边长为 $b$ 的正方形卡片有9张．

(1)、取甲、乙卡片各一张，其面积和为______；

(2)、用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含 $a, b$ 的代数式表示）

(3)、取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为 $a^{2} + n a b + 8 b^{2}$ ，则 $n$ 可能的整数值有______个．

查看试题解析
21. 阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
$①$ $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2 = (x^{3} + 2 x) + (x^{2} + 2)$
$= x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2)$
$= (x^{2} + 2) (x + 1)$
$②$ $x^{2} - 9 + 4 x y + 4 y^{2} = (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}) - 9$
$= {(x + 2 y)}^{2} - 9$
$= (x + 2 y + 3) (x + 2 y - 3)$
$③$ $x^{2} + 8 x + y^{2} + 8 y + 2 x y + 16 = (x^{2} + y^{2} + 2 x y) + (8 x + 8 y) + 16$
$= {(x + y)}^{2} + 8 (x + y) + 16$
$= {(x + y + 4)}^{2}$
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：

(1)、分解因式： $x^{5} - x^{3} + 3 x^{2} - 3$ ；

(2)、分解因式： $a^{2} + 2 a + 1 + b^{2} - 2 b - 2 a b$ ．

查看试题解析
22. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差 $N$ 是否能被8整除”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
$N$
能否被8整除
$3^{2} - 1^{2} = 8$
能
$5^{2} - 3^{2} = 16$
能
$7^{2} - 5^{2} = 24$
能
$9^{2} - 7^{2} = 32$
能
$11^{2} - 9^{2} = 40$
能
…
…
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ） $13^{2} - 11^{2} =$ ______；
（ⅱ）若 $n$ 是正整数，请用含 $n$ 的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差 $N$ 不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
假设相邻两个偶数的平方差 $N$ 能被8整除．令一个偶数为 $2 n$ （ $n$ 为正整数），则相邻的一个偶数可表示为 $2 n + 2$ ，则 ${(2 n + 2)}^{2} - {(2 n)}^{2} = 8 k$ （ $k$ 为正整数）．因为 ${(2 n + 2)}^{2} - {(2 n)}^{2} =$ ______，所以 $k =$ ______，这与 $k$ 为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差 $N$ 不能被8整除．
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．

查看试题解析
23. 综合与实践有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例： $14 \times 94 = 100 \times (1 \times 9 + 4) + 4^{2} = 1316$ ，前积是13，后积是16

(1)、 $26 \times 86 = 100 \times (2 \times 8 + 6) + 6^{2} = 2236$ ，前积是，后积是；

(2)、【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。
$25 \times 85 =$ = ，

(3)、【推理算法】记两位数分别是 $\bar{a c}$ 和 $\bar{b c}$ ，且 $a + b = 10$ ，其中 $\bar{a c} = 10 a + c, \bar{b c} = 10 b + c$
请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。

查看试题解析
24. 综合与探究
【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算 $A - B$ 的值，若 $A - B > 0$ ，则 $A > B$ ；若 $A - B = 0$ ，则 $A = B$ ；若 $A - B < 0$ ，则 $A < B$ ．
【知识运用】

(1)、请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）：
① $3 - \sqrt{2}$ $4 - 2 \sqrt{2}$ ； ② $x - 1$ $x + 3$ ；

(2)、试比较与 $6 x^{2} + 2 x + 1$ 与 $5 x^{2} + 4 x - 3$ 的大小，并说明理由；

(3)、【类比运用】
图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加 $2 a (a > 0)$ 得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为 $S_{1}$ ；将正方形的边长增加a ，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为 $S_{2}$ ．请先判断 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小关系，并说明理由．

查看试题解析
25. 《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.

(1)、观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a²-b²：
等式B：（a+b)²=a²+2ab+b²：
可知，图②对应等式；图③对应等式.

(2)、如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄.求 $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3} + S_{4}}$ 的值.

查看试题解析

BMI范围	$BMI < 18.5$	$18.5 \leq BMI < 24$	$24 \leq BMI < 28$	$BMI \geq 28$
胖瘦程度	偏瘦	正常	偏胖	肥胖

$N$	能否被8整除
$3^{2} - 1^{2} = 8$	能
$5^{2} - 3^{2} = 16$	能
$7^{2} - 5^{2} = 24$	能
$9^{2} - 7^{2} = 32$	能
$11^{2} - 9^{2} = 40$	能
…	…

$a$	$b$	0
$- 2$	3	$c$
$d$	$e$	1