换元法解分式方程—浙教版数学七（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-04-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 用换元法解方程 $\frac{x + 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x + 1} = 2$ 时，若设 $\frac{x + 1}{x^{2}} = y$ ，则原方程可化为（）

A、 $y^{2} - 2 y + 1 = 0$ B、 $y^{2} + 2 y + 1 = 0$ C、 $y^{2} + y + 2 = 0$ D、 $y^{2} + y - 2 = 0$

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2. 若实数x，y满足x²-2xy+y²+x-y-6=0，则x-y的值是( )

A、-1 B、6 C、-2或3 D、2或-3

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3. 已知实数 $a$ 满足 $a^{2} + \frac{4}{a^{2}} - 2 a - \frac{4}{a} - 4 = 0$ ，则 $a + \frac{2}{a}$ 的值为（）

A、-2 B、4 C、－2或4 D、2

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4. 在分式方程 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 x - 1} = 5$ 中，设 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} = y$ ，可得到关于 $y$ 的整式方程( )

A、 $y^{2} + 5 y + 5 = 0$ B、 $y^{2} - 5 y + 5 = 0$ C、 $y^{2} + 5 y + 1 = 0$ D、 $y^{2} - 5 y + 1 = 0$

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5. （x²+y²）²﹣4（x²+y²）﹣5=0，则x²+y²的值为（　　）

A、5 B、﹣1 C、5或﹣1 D、无法确定

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6. 已知实数a、b满足（a²+b²）²﹣2（a²+b²）=8，则a²+b²的值为（　　）

A、﹣2 B、4 C、4或﹣2 D、﹣4或2

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7. 用换元法解分式方程 $\frac{x - 1}{x}$ - $\frac{3 x}{x - 1}$ +1=0时，如果设 $\frac{x - 1}{x}$ =y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）

A、y²+y-3=0 B、y²-3y+1=0 C、3y²-y+1=0 D、3y²-y-1=0

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8. 已知实数a，b，若a＞b， $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} = 2 \sqrt{2}$ ，则ab的最大值是（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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二、填空题

9. 方程组 $\{\begin{array}{l} \frac{6}{x + y} + \frac{3}{x - y} = 5 ， \\ \frac{9}{x + y} - \frac{2}{x - y} = 1 \end{array}$ 的解为.

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10. 在解分式方程 $\frac{5 x}{2 - x} + \frac{2 - x}{5 x} = 2$ 时，小华将 $\frac{5 x}{2 - x}$ 设为m，并代入原分式方程，化简之后得到一个新的一元二次方程进行求解，则小华得到的新的一元二次方程为.

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11. 若方程 $\frac{2}{1 - a} = \frac{a}{a - 1} - 3$ 的解为 $a = \frac{5}{2}$ ，则方程 $\frac{2}{1 + 2 b} = \frac{2 b}{2 b + 1} - 3$ 的解为 $b =$

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12. 用换元法解方程 $\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x} = 2$ 时，若设 $\frac{3 x}{x - 1}$ $= t$ ，则原方程可化为关于 $t$ 的方程是

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13. 若方程 $\frac{2}{1 - x} = \frac{x}{x - 1} - 3$ 的解为 $x = \frac{5}{2}$ ，则方程 $\frac{2}{1 - 2 y} = \frac{2 y}{2 y - 1} - 3$ 的解为 $y =$ ．

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14. 方程组 $\{\begin{cases} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{x - y} = 1 \\ \frac{4}{x + y} - \frac{6}{x - y} = - 2 \end{cases}$ 的解为．

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三、解答题

15. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} .$

(1)、求 $\frac{a + b}{b}$ 的值；

(2)、若2a-b=10，求a+2b的值.

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16. 阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： $\frac{x - 1}{x} - \frac{4 x}{x - 1} = 0$ ．
解：设 $y = \frac{x - 1}{x}$ ，则原方程化为 $y - \frac{4}{y} = 0$ ，
方程两边同时乘 $y$ ，得 $y^{2} - 4 = 0$ ，解得 $y = \pm 2$ ．
经检验： $y = \pm 2$ 都是方程 $y - \frac{4}{y} = 0$ 的解．
当 $y = 2$ 时， $\frac{x - 1}{x} = 2$ ，解得 $x = - 1$ ；当 $y = - 2$ 时， $\frac{x - 1}{x} = - 2$ ，解得 $x = \frac{1}{3}$ ．
经检验， $x = - 1$ 或 $x = \frac{1}{3}$ 都是原分式方程的解，
$∴$ 原分式方程的解为 $x = - 1$ 或 $x = \frac{1}{3}$ ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：模仿上述解题过程，用换元法解方程：
$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{3}{x - 1} - 1 = 0$

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17. 小明邀请你参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程： $\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x} = 2$ .
[小明解答的部分]解：设 $\frac{3 x}{x - 1} = t$ ，则有 $\frac{x - 1}{3 x} = \frac{1}{t}$ ，故原方程可化为 $t + \frac{1}{t} = 2$ ，去分母并移项，得 $t^{2} - 2 t + 1 = 0$ .
[接龙]

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18. 小明邀请你请参与数学接龙游戏：
【问题】解分式方程： $\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x} = 2$ ，
【小明解答的部分】解：设 $\frac{3 x}{x - 1} = t$ ，则有 $\frac{x - 1}{3 x} = \frac{1}{t}$ ，故原方程可化为 $t + \frac{1}{t} = 2$ ，去分母并移项，得 $t^{2} - 2 t + 1 = 0$ .
【接龙】

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