分式方程增根问题—浙教版数学七（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-04-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 关于 $x$ 的方程 $\frac{3 x - 1}{x + 1} - \frac{m}{x + 1} = 1$ 有增根，则， $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、4 C、 $- 4$ D、2

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2. 若分式方程 $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{k}{x - 1}$ 有增根，则k的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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3. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + 1$ 有增根，则这个增根可能是（）

A、 $x = 0$
B、 $x = 1$
C、 $x = 2$
D、 $x = - 1$

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4. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{m - 1}{x - 2} = \frac{x}{2 - x}$ 有增根，那么 $m$ 的值为（）

A、3
B、2
C、1
D、-1

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5. 关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{m}{1 - x} - 1$ 有增根，则 $m$ 的值是（）

A、2 B、0 或 2 C、-2 D、 $\pm 2$

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6. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 3} + \frac{x + m}{3 - x}$ =2增根，则m的值是（）

A、-1 B、0 C、3 D、0或3

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7. 若关于x的方程 $\frac{x^{2} - 4 x + a}{x - 3}$ =0有增根，则a的值为（）

A、13 B、-11 C、9 D、3

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8. 若解关于x的分式方程 $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{m + 1}{x^{2} + x} = \frac{x + 1}{x}$ 时产生增根，则m的值为（）

A、-2或-1 B、-1或2 C、1或2 D、-2或1

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二、填空题

9. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{x - 2}{3 - x} = 2$ 有增根，则增根是．

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10. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{4}{x - 2} = \frac{a x}{x - 2} + 5$ 有增根，则 $a$ 的值是．

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11. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 3}$ 有增根 $x = 3$ ，则m的值是.

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12. 关于x的分式方程 $\frac{a x}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + 1$ 无解，则a的值是．

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{3}{x - 1} = \frac{x + a}{x （ x - 1 ）}$ 的增根只有 $x = 1$ ，则字母 $a$ 的值为．

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14. 当 $m =$ 时，解分式方程 $\frac{x - 5}{x - 3} = \frac{m}{3 - x}$ 会出现增根．

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三、解答题

15. 已知关于x的分式方程 $\frac{2}{1 - x} = \frac{m x}{x - 1} - 2$ ．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求这个分式方程的解；

(2)、若此分式方程无解，求 $m$ 的值．

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16. 若分式方程 $\frac{?}{x - 2} + 3 = \frac{1}{2 - x}$ 有增根，且方程无解．

(1)、方程的增根是　　　　；

(2)、求出分式方程中“？”所代表的数．

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17. 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常如下： ①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，对于分式方程 $\frac{3 x}{x - 3} + 5 = \frac{m}{3 - x}$ ，解决下列问题．

(1)、若方程有增根，则 $m$ 为何值？

(2)、 $m$ 为何值时，方程的根是 -1 ？

(3)、任意写出三个 $m$ 的值，使方程对应的三个根中，两个根之和等于第三个根．

(4)、满足题（3）条件的 $m_{1} ， m_{2} ， m_{3}$ 的关系是.

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18. 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为： ①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代人整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：

(1)、探究 1 ：当 $m$ 为何值时，方程 $\frac{3 x}{x - 3} + 5 = \frac{m}{3 - x}$ 有增根？

(2)、探究 2：当 $m$ 为何值时，方程 $\frac{3 x}{x - 3} + 5 = \frac{m}{3 - x}$ 的根是 -1 ？

(3)、探究 3 ：任意写出三个 $m$ 的值，使对应的方程 $\frac{3 x}{x - 3} + 5 = \frac{m}{3 - x}$ 的三个根中两个根之和等于第三个根．

(4)、探究 4 ：你发现满足 “探究 3 ” 条件的 $m_{1} ， m_{2} ， m_{3}$ 的关系是

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