四川省成都市第十二中学（川大附中）2026届高三下学期二诊热身考试数学试题

试卷更新日期：2026-03-26 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{0, 1, 2\}, B = \{x | 2 x^{2} - x - 3 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

查看试题解析
2. 设复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(- 2, 1)$ ，则复数 $\frac{5}{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

查看试题解析
3. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和， $2 a_{6} = a_{5} + 5$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、55 B、65 C、15 D、60

查看试题解析
4. 若双曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-2 C、 $- \frac{1}{4}$ D、-4

查看试题解析
5. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，且 $f (2 x - 1)$ 为奇函数，则一定有（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = 0$ C、 $f (3) = 0$ D、 $f (4) = 0$

查看试题解析
6. 小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析， $X_{1} ~ N (60, 10^{2}), X_{2} ~ N (40, 10^{2})$ ， $X_{3} ~ N (40, 15^{2}), X_{4} ~ N (30, 40^{2})$ ，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（）
$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

A、步行 B、骑自行车 C、乘坐公汽 D、自己开车

查看试题解析
7. 桌面上有以下四种几何体，设点 $P$ 是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点 $P$ 到桌面的距离最大的几何体是（）

A、棱长为1的正方体 B、表面积为 $4 π$ 的球 C、轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D、体积为 $\frac{π}{2}$ 且轴截面为直角三角形的圆锥

查看试题解析
8. 已知 $△ A B C$ 内角A，B，C满足 $\sin A = - 6 \cos B \cos C$ ， $\cos A = 3 \sin B \sin C$ ，则 $\tan A =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、9

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1, b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $b_{2} + b_{4} + b_{6} + b_{8} + b_{10} = 25$ C、 $\{b_{a_{n}}\}$ 为等比数列 D、 $a_{n} > b_{n}$

查看试题解析
10. 任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，若事件 $A = \{1, 2, 5\}$ ，事件 $B = \{1, 3, 5\}$ ，事件 $C$ 满足 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两独立 C、当事件 $A B C = \{5\}$ 时， $P (C) = \frac{2}{3}$ D、当事件 $A B C = \{1\}$ 时，满足条件的事件 $C$ 有3个

查看试题解析
11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，若 $C$ 上存在 $n$ 个互不重合的点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ 满足 $∠ P_{1} F P_{2} = ∠ P_{2} F P_{3} = \dots = ∠ P_{n - 1} F P_{n} = ∠ P_{n} F P_{1} = \frac{2 π}{n}$ ，下列结论中正确的有（）

A、当 $n = 2$ 时，则 $|P_{1} P_{2}|$ 的最小值为4 B、当 $n = 3$ 时，存在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 使得点 $F$ 为 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 的重心 C、当 $n = 4$ 时，则 $|P_{1} P_{3}| + |P_{2} P_{4}|$ 的最小值为16 D、当 $n = 6$ 时，则 $\frac{1}{|P_{1} F|} + \frac{1}{|P_{2} F|} + \frac{1}{|P_{3} F|} + \dots + \frac{1}{|P_{6} F|} = 3$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与非零向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

查看试题解析
13. 若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = ln x + \frac{1}{2 x}$ 相切，则 $k =$ ．

查看试题解析
14. 已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正四面体 $P - A B C$ 的外接球球心为 $O$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E B}$ ，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，若截面面积为 $\frac{13}{16} π$ ，则直线 $O E$ 与该截面所成的角的正弦值为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别是 $a, b, c$ .已知 $a, b, c$ 成等差数列，且 $2 \sin A = \sin C$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
16. 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：
企业
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
$F$
$G$
研发投入 $x$ （万元）
300
600
900
1200
2000
2800
4000
年度专利产出数 $y$ （件）
3
5
7
6
9
10
11

(1)、现从这7家企业中随机抽取1家.记事件 $M$ ：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件 $N$ ：抽到的企业“专利产出数超过8件”.
（i）求条件概率 $P (N ∣ M)$ 的值；
（ii）判断事件 $M$ 与 $N$ 是否相互独立，并说明理由；

(2)、从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

查看试题解析
17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C, △ P A C$ 是边长为2的等边三角形， $A B = 2 \sqrt{2} ， ∠ B A C = 45^{\circ}$ ．

(1)、证明： $B C ⊥ P A$ ；

(2)、若线段 $P C$ 上的点 $Q$ 满足直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ，求点 $Q$ 到直线 $A B$ 的距离．

查看试题解析
18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若椭圆 $C$ 的左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 在第一象限上的一点，直线 $P B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，直线 $P A$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ .
（ⅰ）求证：四边形 $A B C D$ 的面积为定值；
（ⅱ）求 $△ P C D$ 面积的最大值.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 x + 2 a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = a x - 2 e^{x} + 2 a$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 共有4个不同的零点，是否存在实数 $a$ ，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析

企业	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$
研发投入 $x$ （万元）	300	600	900	1200	2000	2800	4000
年度专利产出数 $y$ （件）	3	5	7	6	9	10	11