河北衡水市第二中学等校2026届高三下学期一模数学试题

试卷更新日期：2026-03-15 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 互相垂直，则 $|\vec{a} - \sqrt{2} \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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2. 设集合 $A = \{y |y = \lg (4 - x)\}$ ， $B = \{y |y = |x| + \frac{2}{|x|}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[2 \sqrt{2}, 4)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $[3, 4)$

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3. 若 $z^{2} = - 3 + 4 i$ ，则 $z$ 的虚部与实部的比值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 为棱 $B C$ 的中点， $\vec{C F} = 3 \vec{F D}$ ， $\vec{C G} = 3 \vec{G A}$ ，则 $\cos ∠ G E F =$ （）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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5. 某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（）

A、26.8吨 B、27.7吨 C、28.3吨 D、29.2吨

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6. 若 $\sqrt{3} \sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} > \frac{1}{2}$ ，则 $cos (α - \frac{5 π}{3})$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, \frac{7}{8})$ B、 $(\frac{7}{8}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{3}{4})$ D、 $(\frac{3}{4}, 1]$

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7. 函数 $f (x) = \frac{32}{5} x^{5} - 6 x^{4} + x^{2} - 2$ 的极值点的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 若非负数 $x$ ， $y$ 满足 $y^{2} - 2 \sqrt{x} = 6 \sqrt{y^{2} - x}$ ，则 $y$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{42}$ B、42 C、 $2 \sqrt{10}$ D、40

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若函数 $f (x) = - 1 - \sin ω x$ （ $ω > 0$ ）在 $(0, π)$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - 2$ ，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意实数 $x$ ， $y$ ， $f (x + y) + f (x - y) + f (y - x) + f (1 + y) = 3 x + 6 y - 5$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $x f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$ C、 $f (2) < 4$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2}{3}, 0)$ 对称

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11. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P$ ， $Q$ 在平面 $A B C D$ 的同一侧，且 $P A = Q B = 2$ ，则（）

A、点 $Q$ 在四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的球面上 B、四棱锥 $Q - A B C D$ 内切球的表面积为 $(26 - 16 \sqrt{2}) π$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 与四棱锥 $Q - A B C D$ 公共部分的体积为 $\frac{5}{3}$ D、四棱锥 $Q - A B C D$ 的四个侧面所在平面将空间分成14个部分

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则不等式 $1 \leq 2^{[x]} \leq 4$ 的解集为.

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13. 已知 $P$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，若 $| P A | = 2 | P B |$ ，过点 $A$ 作 $P B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则 $| A H | =$ ，点 $H$ 到 $y$ 轴的距离为.

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14. 来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有种.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B B_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $G$ 为线段 $E F$ 上的动点.

(1)、证明： $B_{1} G / /$ 平面 $A C D$ .

(2)、若 $G$ 为线段 $E F$ 的中点，且 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A G$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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16. 某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立.

(1)、求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.

(2)、若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.

(3)、使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由.

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17. 已知集合 $\{x \in Z |a_{n} < x < b_{n}, n \in N^{*}\}$ 中元素的个数为 $c_{n}$ .

(1)、若 $a_{n} = - n$ ， $b_{n} = 3^{n}$ ，求 $c_{2}$ .

(2)、若 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 均为等差数列且 $a_{n} < b_{n}$ ， $a_{n}$ ， $b_{n} \in Z$ ，证明： $\{c_{n}\}$ 也为等差数列.

(3)、若 $a_{n} = 2^{n} - \frac{2}{n}$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 2$ ，且 $b_{1} = 10$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = - a x^{3} + 2 x e^{x}$ .

(1)、证明：存在 $m \in R$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 在点 $(m, f (m))$ 处切线的斜率为定值.

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 零点的个数.

(3)、当 $f (x)$ 的零点个数最多时，证明： $f (x)$ 的零点之和大于3.

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19. 设抛物线 $Ω$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点为 $F$ ，且线段 $O F$ 的中点为 $(\frac{p}{4}, 0)$ （ $p > 0$ ）.

(1)、当 $p = 8 \sqrt{7}$ 时，求 $Ω$ 的准线方程.

(2)、点 $A$ 为 $Ω$ 上一动点，过 $A$ 作 $Ω$ 的准线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，设过 $A$ ， $F$ ， $H$ 三点可作双曲线 $C$ ，且 $C$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上.
（ⅰ）若 $C$ 过点 $O$ ，求 $C$ 的方程；
（ⅱ）求 $C$ 的离心率的取值范围.

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