贵州黔西南州顶兴高级中学2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题.（每题只有一个选项符合题意，每小题5分，共计8小题，合计40分.）

1. 设集合 $A = \{x |\sqrt{x} = x\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{x} > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{1\}$ B、 $\{0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $(0, 1)$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} + z^{2} =$ （）

A、 $1 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，若点 $(- 6, 0)$ 与点F关于直线l对称，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, C D = 3 A B$ ，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $2 \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A D}$

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5. 已知圆锥的表面积为 $3 π$ $m^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）

A、1m B、2m C、 $\sqrt{3}$ m D、 $2 \sqrt{3}$ m

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 cos α, - 1), \vec{b} = (3 cos α, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{3}, B C = 2, B = \frac{π}{3}, ∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{- x}, x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \ln 2, 1)$ B、 $(1 - \ln 3, 1 - \ln 2]$ C、 $(2 - \ln 3, 2 - \ln 2]$ D、 $[2 - \ln 3, + \infty)$

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二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，选错一个选项该题不得分，每小题6分，共计3小题，合计18分.）

9. 以下说法正确的有（）

A、数据 $- 2$ ， $- 1$ ， 3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B、若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数 $R^{2}$ 越大的模型，拟合效果越差 C、已知随机变量 $X \sim N (1, 2^{2})$ ，若 $P (X < a) \geq P (X > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ D、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, 10$ 的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4

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10. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 D、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到 $f (x)$ 的图象

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11. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $E$ 上的动点， $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为 $Q$ ， $M$ 为 $P Q$ 的中点， $A$ 为上顶点，则（）

A、椭圆 $E$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{4}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$ C、 $|O M|$ （ $O$ 为原点）是定值 D、 $|A P|$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$

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三、填空题（每小题5分，共计3小题，合计15分.）

12. 函数 $f (x) = x ln x - 2 x + 3$ 的单调递减区间为.

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13. 已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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14. 如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有种．

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四、解答题（请写出完整的解答过程，共计5小题，合计77分.）

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别是 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = c cos (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 6, A C = 2 A B = 4, ∠ B A C = 120^{\circ}$ .点 $M$ 满足 $\vec{A A_{1}} = 3 \vec{A M}$ .

(1)、过点 $M$ 作 $M H$ 垂直 $B C$ 于点 $H$ ，证明：平面 $M B C ⊥$ 平面 $A A_{1} H$ ；

(2)、求平面 $B C M$ 与平面 $B_{1} C_{1} M$ 夹角的余弦值.

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17. 记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} = 2 b_{n} + n - 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 $\{b_{n} + n\}$ 为等比数列；

(3)、求数列 $\{(n + b_{n}) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x, g (x) = 3 ln x + 3$ .

(1)、若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且0为 $f^{'} (x)$ 的极值点，求 $a$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，过原点的直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切，证明：当 $x > 0$ 时， $l$ 在 $g (x)$ 图象的上方.

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19. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{6}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作两条平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．设 $l_{1}$ 与C交于P，Q两点， $l_{2}$ 与y轴交于点M．

(1)、求C的方程；

(2)、若点M在y轴的负半轴上，求 $l_{1}$ 斜率的取值范围；

(3)、若 $| P M | = | Q M |$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的一般式方程．

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