平行四边形·尺规作图—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-04-08 类型：复习试卷

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一、作图题

1. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、用直尺和圆规，作 $∠ A D C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $H$ ，交 $A C$ 于点 $G$ （只保留作图痕迹）．

(2)、在（1）所作的图中，若 $C H = 2 B H$ ，试说明 $C G = 2 G F$ ．请根据以下思路完成填空：证明：在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C ， A D ∥ B C$ ，
$∴ ∠ A D H = ∠ D H C$ ，
$∵ B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $D H$ 平分 $∠ A D C$ ，
$∴ ∠ E B C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ，     ▲         ，
$∴ ∠ E B C = ∠ A D H$ ，
$∴$     ▲         ，
$∴ B E ∥ D H$ ，
$∴ \frac{C G}{G F} =$     ▲         ．
$∵ C H = 2 B H$ ，
$∴ C G = 2 G F$ ．

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2. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A D$ 的角平分线交 $B C$ 于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

(2)、求证： $A B = B E$ ．

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3. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A C$ 的平分线 $A E$ ，交 $B D$ 于点E（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图中，若 $A C = 2 A B$ ，求证： $D E = 3 B E$ ．

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4. 尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）：

(1)、如图1，小明用尺规分别以□ABCD的点A，B为圆心，AB为半径画圆弧，交AD，BC于点E，F，连接EF.求证：四边形ABFE为菱形.

(2)、在图2中，请用尺规在□ABCD的边AD，BC上分别作出点E，F，使四边形ABFE为菱形.（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明）

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5. 已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．

(1)、判断小亮的作法是否正确，并说明理由．

(2)、小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗?请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D > A B$ ．

(1)、实践与操作：作 $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，在 $A D$ 上截取 $A F = A B$ ，连接 $E F$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)、连接 $B F$ 交 $A E$ 于点 $O$ ，若 $B F = 8$ ， $A B = 5$ ，求 $A E$ 的长（未完成作图的，可用草图作解答）．

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7. 在 $6 \times 6$ 的方格中，已知三点 $A, B, C$ 都在格点上．

(1)、如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出 $∠ A B C$ 的平分线 $B N$ ．

(2)、若每个小方格的边长为1，在 $∠ A B C$ 的角平分线上有一点 $M$ ，已知 $M A = \sqrt{10}$ ，试求四边形 $A B C M$ 的面积．

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8. 尺规作图问题：如图1，在 $▱ A B C D$ 中 $(A D > A B)$ ，用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线.
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图2，以 $A$ 为圆心，AB为半径作弧，交AD于点 $E$ ，连结BE ，则BE平分 $∠ A B C$ .

(1)、按照小温的说法，在图1中用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线；

(2)、小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明.

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D > A B$ .

(1)、作 $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，在 $A D$ 上截取 $A F = A B$ ，连接 $E F$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）

(2)、直接写出四边形 $A B E F$ 的形状．

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10. 小育在学习了平行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形 $A B C D$ （ $A D > A B$ ）里作出一个菱形？他的思路如下：在 $▱ A B C D (A D > A B)$ 中，利用尺规作 $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ ，交 $A D$ 于点E，在 $B C$ 上截取 $B F = A B$ ，连接EF．

(1)、根据小育的思路作图；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、根据小育的思路，求证：四边形 $A B F E$ 是菱形．

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，连接 $A C, ∠ A C B = 60 °$ ．

(1)、实践操作∶利用尺规作 $∠ D A C$ 的平分线 $A M$ ，交 $C D$ 于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)

(2)、猜想证明：在所作的图中，猜想线段 $A M$ 与 $C M$ 的数量关系，并证明你的猜想．

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12. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的顶点均在格点上，找到格点 $P$ ，使 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ．
画法1：在 $A D$ 边上找到格点 $P$ ，使 $A P = A B$ ．
画法2：在 $B C$ 边上找到格点 $E$ ，使 $B E = A B$ ，连结 $A E$ ，找到格点 $P$ ．

(1)、请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点 $P$ ，连结 $B P$ ．

(2)、从两种画法中选择一种证明 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ．

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13. 尺规作图问题：如图 $1$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中 $(A D > A B)$ ，用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图 $2$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作弧，交 $A D$ 于点 $E$ ，连结 $B E$ ，则 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、按照小温的说法，在图 $1$ 中用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线．

(2)、小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 边上一点.

(1)、实践操作：过点E作 $A B$ 的平行线 $E F$ ，交 $B C$ 于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

(2)、推理证明：在（1）的条件下，求证： $△ B A E ≌ △ E F B$ .

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15. 如图，直线 $A M ∥ B N$ ，连接 $A B$ ，作 $∠ A B N$ 的平分线 $B C$ ，交 $A M$ 于点C．

(1)、求证： $A B = A C$ ．

(2)、圆圆说：“以点C为圆心， $C A$ 长为半径作弧，交 $B N$ 于点D，则四边形 $A B D C$ 为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形 $A B D C$ 为菱形的点D的方法．

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