沪科版数学八年级下册17.2一元二次方程的解法之专项计算篇

试卷更新日期：2026-04-08 类型：复习试卷

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一、直接开平方法

1. 用直接开平方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 49 = 0$ ．

(2)、 $2 (2 x - 1)^{2} - 32 = 0$ ．

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2. 用开平方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} = 0.64$ ．

(2)、 $3 a^{2} = 4$ ．

(3)、 $4 x^{2} - 48 = 0$ ．

(4)、 $16 (a + 0.25)^{2} = 9$ ．

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二、换元法（整体带入）

3. 已知实数a满足 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 2 a - \frac{2}{a} - 1 = 0$ ，求 $a + \frac{1}{a}$ 的值.

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4. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ ）．
令 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ =t，则
原式=（1﹣t）（t+ $\frac{1}{5}$ ）﹣（1﹣t﹣ $\frac{1}{5}$ ）t
=t+ $\frac{1}{5}$ ﹣t²﹣ $\frac{1}{5}$ t﹣ $\frac{4}{5}$ t+t²
= $\frac{1}{5}$
问题：

(1)、计算
（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣…﹣ $\frac{1}{2014}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ +…+ $\frac{1}{2014}$ + $\frac{1}{2015}$ ）﹣（1﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ﹣ $\frac{1}{5}$ ﹣…﹣ $\frac{1}{2014}$ ﹣ $\frac{1}{2015}$ ）×（ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{2014}$ ）；

(2)、解方程（x²+5x+1）（x²+5x+7）=7．

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三、因式分解

5. 解下列一元二次方程

(1)、x²-4x+3=0

(2)、2x²-5x+2=0

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6. 用因式分解法解下列方程：

(1)、x(x-2)=0.

(2)、8x²+8x+2=0.

(3)、 $x^{2} - x - 6 = 0 .$

(4)、 ${(2 x + 3)}^{2} = {(3 x + 2)}^{2} .$

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7. 用因式分解法解下列方程：

(1)、 $y (y + 5) = - \frac{25}{4}$ ．

(2)、 $3 (x - 3) = (x - 3)^{2}$ ．

(3)、 $(2 x + 3)^{2} = 24 x$ ．

(4)、 $(2 x + 1)^{2} - 4 (2 x + 1) + 4 = 0$ ．

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8. 一般地，对于二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq$ 0)，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 $a = a_{1} a_{2},$ 常数项c可以分解成两个因数之积，即 $c = c_{1} c_{2},$ 把a₁ ， a₂ ， C₁ ， C₂按图排列：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1},$ 若它正好等于二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 的一次项系数b，即 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1} = b,$ 则二次三项式就可以分解为两个因式 $a_{1} x + c_{1}$ 与 $a_{2} x + c_{2}$ 之积，即 $a x^{2} + b x + c = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2}) .$ 像这种借助十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
请用十字相乘法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 15 = 0;$

(2)、 $2 x^{2} - x - 6 = 0;$

(3)、 $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0 .$

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四、配方法

9. 用配方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - x - \frac{7}{4} = 0$ .

(2)、 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 1 = 0$ .

(3)、 $(2 x - 1)^{2} + 2 (2 x - 1) = 1$ .

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10. 解一元二次方程： $x^{2} - 3 x + 5 = 0$ ．

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11. “配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式： $x^{2} - 6 x - 7$ ．
解： $x^{2} - 6 x - 7 = x^{2} - 6 x + 9 - 16 = {(x - 3)}^{2} - 16 = (x + 1) (x - 7)$ ．

(1)、用配方法分解因式： $a^{2} + 10 a + 21$ ；

(2)、若 $A = a^{2} + b^{2} + 27$ 与 $B = 8 a + 6 b$ ，请比较A、B的大小关系并说明理由；

(3)、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 8 cm, B C = 6 cm$ ．点M从点A开始以 $2 cm / s$ 的速度向点C运动，同时点N从点C开始以 $1 cm / s$ 的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s）， $△ M N C$ 的面积为S（ ${cm}^{2}$ ）．
①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？

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五、公式法

12. 解方程： $x^{2} - 2 x - 6 = 0 .$

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13. 解方程， $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

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14. 解方程： $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ ．

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15. 用公式法解方程： $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ ．

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16. 用适当的方法解方程：

(1)、 $3 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

(2)、 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$

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六、数形结合（结合勾股定理）