沪科版数学八年级下册期末培优演练之最值问题篇

试卷更新日期：2026-04-08 类型：复习试卷

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一、蚂蚁爬行问题

1. 如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q ，则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）

A、6 B、8 C、10 D、12

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2. 如图，长方体的长为 $15 c m$ ，宽为 $10 c m$ ，高为 $20 c m$ ，点 $B$ 与点 $C$ 的距离为 $5 c m$ ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 $A$ 爬到点 $B$ 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

A、 $25 c m$ B、 $20 c m$ C、 $24 c m$ D、 $10 \sqrt{5} c m$

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3. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为 $10 cm$ ，底面周长为 $12 cm$ ，在圆柱的下底面的外壁 $A$ 处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿 $2 cm$ 的点 $E$ 处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）

A、 $6 \sqrt{5} cm$ B、 $2 \sqrt{34} cm$ C、 $4 \sqrt{13} cm$ D、 $10 cm$

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4. 如图，透明的圆柱形玻璃杯的高为7cm，底面周长为10cm，在杯子内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，且离杯口上沿2cm的点A处，若玻璃杯的厚度忽略不计，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是（）

A、 $\sqrt{29} c m$ B、 $\sqrt{10} c m$ C、 $\sqrt{41} c m$ D、 $\sqrt{61} c m$

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5. 如图，已知圆柱底面的周长为4d m，圆柱高为 2 dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( ).

A、 $4 \sqrt{2} d m$ B、 $2 \sqrt{2} d m$ C、 $2 \sqrt{5} d m$ D、 $4 \sqrt{5} d m$

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二、轴对称最值

6. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为8，M在 $D C$ 上，且 $D M = 2$ ， N是 $A C$ 上一动点，则 $D N + M N$ 的最小值为（）

A、 $8 + 2 \sqrt{7}$ B、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ C、8 D、10

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 周长为16， $∠ D A C = 30 °$ ， E是 $A B$ 的中点，P是对角线 $A C$ 上的一个动点，则 $P E + P B$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图， △ABC是边长为2的等边三角形， D， E分别为BC， AC的中点， P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、2

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9. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为高 $A D$ 上的一动点，以 $B E$ 为边作等边 $△ B E F$ ，连接 $D F$ 、 $C F$ ，则 $F B + F D$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，若 $P$ 、 $Q$ 分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是

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11. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ， D为 $B C$ 边上一动点， $E F$ 垂直平分 $A D$ 分别交 $A C$ 于E，交 $A B$ 于F．当 $C D = 1$ 时，连接 $D F$ ，则 $△ B D F$ 的周长为；当D为 $B C$ 上任意一点时，取 $A B$ 中点G，则 $A D + G D$ 的最小值为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2)，点 B是正比例函数y=x图象上一动点，点 C 是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为.

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三、中点相关（中位线、斜边中线、倍长中线）

13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = 120 °$ ， $A B = 8$ ， $A D = 10$ ，点H、G分别是 $C D$ 、 $B C$ 上的动点，连接 $A H$ 、 $G H$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A H$ 、 $G H$ 的中点，则 $E F$ 的最小值是（）

A、4 B、5 C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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四、点到直线距离（垂线段）

14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $A B = 15$ ，将边 $B C$ 沿 $C D$ 翻折，点B落在点E处，连接 $C E$ 交 $A B$ 于点F，则 $E F$ 的最大值为（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(0，2)，点B为x轴上的动点，以AB为边作等边三角形ABC，当OC最小时点C的坐标为．

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五、两点之间，线段最短

16. 如图，一次函数 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $D ， E$ 分别是线段 $B O ， B C$ 上的动点，且 $B D = C E$ ，则 $B C$ 的长为；当 $A D + A E$ 的值取最小值时，点 $D$ 的坐标为．

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六、配方法解决最值问题

17. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值．
解： $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = {(x + 1)}^{2} + 2$
$∵$ 无论 $x$ 取何实数，都有 ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，
$∴$ ${(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2$ ，即 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：

(1)、直接写出 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值；

(2)、比较代数式 $3 x^{2} - x + 2$ 与 $2 x^{2} + 3 x - 6$ 的大小，并说明理由；

(3)、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ．若 $A C + B D = 10$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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18. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值．
解： $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = (x + 1)^{2} + 2$ ；
∵无论x取何实数，都有 $(x + 1)^{2} \geq 0$ ，
∴ $(x + 1)^{2} + 2 \geq 2$ ，即 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为2．

(1)、【尝试应用】请直接写出 $2 x^{2} + 4 x + 10$ 的最小值；

(2)、【拓展应用】试说明：无论x取何实数，二次根式 $\sqrt{x^{2} + x + 2}$ 都有意义；

(3)、【创新应用】如图，在四边形ABCD中， $A C ⊥ B D$ ，若 $A C + B D = 10$ ，求四边形ABCD的面积最大值．

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19. 定义：将二次三项式 $x^{2} + b x + c$ 变形为 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即 ${(x + m)}^{2} \geq 0$ 就可以解决很多问题，例如：把多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 配方为： $x^{2} - 2 x + 3 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} - 1^{2} + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2$ ．

(1)、把多项式 $x^{2} + 4 x + 5$ 配方成 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式，则 $m =$ ________， $n =$ ________；

(2)、若多项式 $A = x^{2} + 4 x + 5$ ， $B = x^{2} + 6 x$ ．
①证明：无论 $x$ 取任何实数，多项式 $A$ 的值一定恒为正数；
②求多项式 $2 A - B$ 的最小值．

(3)、已知正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足不等式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 36 < a b + 6 b + 10 c$ ，求 $a + b - c$ 的值．

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