人教版七（下）数学第十章二元一次方程组单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-04-08 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（）

A、78 B、87 C、88 D、89

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2. 在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（）
①（a-b）²=4； ②ab=15；③a²+b²=34； ④a²-b²=21.

A、①②③ B、0①②④ C、①③④ D、②③④

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3. 当x取不同值时，多项式 $k_{1} x + b_{1} (k_{1} \neq 0)$ 和 $k_{2} x + b_{2} (k_{2} \neq 0)$ 的对应值分别如下表所示，则关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{matrix} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{matrix}$ 的解为（）
x
890
-2
-1
0
1
2
…
k₁x+b₁（k₁≠0）
…
-1
0
1
2
3
…
k₂x+b₂（k₂≠0）
…
-5
-3
-1
1
3
…

A、 ${\begin{matrix} x = - 5 \\ y = - 2 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 4 \\ y = 5 . \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 3 \end{matrix}$

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4. 在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（）

A、10m² B、28m² C、18m² D、12m²

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5. 关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} x + a y + 1 = 0, \\ b x - 2 y + 1 = 0 \end{matrix}$ 有无数组解，则a，b的值为（）.

A、a=0，b=0 B、a=-2，b=1 C、a=2，b=-1 D、a=2，b=1

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6. 若方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c . \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 6 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} 4 a_{1} x + 3 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 4 a_{2} x + 3 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 6 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 6 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 10 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 20 \\ y = 30 \end{array}$

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7. 如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按 $a n + b$ 的规律（ $n$ 表示前一个圆圈中的数， $a$ ， $b$ 是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（）

A、122 B、66 C、178 D、以上都错误

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8. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（）．

A、32元 B、33元 C、34元 D、35元

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9. 方程 $| x - 2 y - 3 |+| x + y - 1 | = 2$ 的整数解的个数是(　　)

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（）

A、3 B、2 C、-1 D、-3

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 若关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - m y = 5 ， \\ 2 x + n y = 6 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = 2 ， \\ y = 3 ， \end{matrix}$ 则关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 (x + 1) - m (y - 2) = 5 ， \\ 2 (x + 1) + n (y - 2) = 6 \end{matrix}$ 的解是

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12. 若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则 $\frac{5 x^{2} + 2 y^{2} - z^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2} - 10 z^{2}}$ 的值等于．

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13. 解方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 2 \\ c x - 7 y = 8 \end{matrix}$ 时，应该正确地解得 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \end{matrix}$ ，小明由于看错了系数c，得到的解为 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \end{matrix}$ 则a﹣b﹣c= ．

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14. 已知方程组 $\{\begin{matrix} x - y = 2 \\ m x + y = 6 \end{matrix}$ 有非负整数解，则正整数m的值有个．

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15. 若一个各位数字均不为0的四位数 $N = \underline{a b c d}$ （ $1 \leq c \leq a \leq 9$ ， $1 \leq b$ ， $d \leq 9$ ， a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数 $\underline{a c}$ 与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当 $c = 1$ ， $d = 5$ 时，最小“开心数”为；若“开心数”N满足前两位数字之和 $a + b$ 与后两位数字之和 $c + d$ 相等，且 $\frac{\underline{a b} + \underline{c d}}{9}$ 为整数，则满足条件的最大M为．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16.

(1)、解方程组： ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 11 = 0 \\ \sqrt{2} x - 4 y + 10 = 0 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} (x + 3) (y - 2) = (x - 3) (y + 10) \\ (x - 1) (y + 3) = (x + 2) (y + 12) \end{array}$

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17. 某商场有两种旅行包，每个大旅行包进价100元，售价130元，每个小旅行包售价60元，利润率 $50 %$ ．

(1)、每个大旅行包的利润率为______，每个小旅行包的进价为______；

(2)、若该商场同时购进两种旅行包共50个，恰好总进价为3200元，则该商场购进两种旅行包各多少个？

(3)、在“元旦”期间，该商场对两种旅行包进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠方案
不超过400元
不打折
超过400元，但不超过600元
打九折
超过600元
其中600元部分打八折，超过600元部分打七折
按上述优惠方案，若小李一次性购买两种旅行包实际付款522元，求小李此次购物打折前的总金额．

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18. 中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”

(1)、判断点 $A (\frac{3}{2}, - 1)$ 是否为“中山点”，并说明理由；

(2)、若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；

(3)、已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} y + q = 0, \\ x - 2 y = \sqrt{3} p + 2 q \end{array}$ 的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.

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19. 某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型
进价／（元／个）
售价／（元／个）
$A$ 款
$m$
120
$B$ 款
$n$
90
若该商场购进4个 $A$ 款足球和11个 $B$ 款足球需980元；购进2个 $A$ 款足球和3个 $B$ 款足球需340元．

(1)、求 $m$ 和 $n$ 的值．

(2)、某校在该商场一次性购买 $A$ 款足球 $x$ 个和 $B$ 款足球 $y$ 个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？

(3)、为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个 $A$ 款足球送1根跳绳，买3个 $B$ 款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？

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20. 初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200ml的甲品牌消毒液和规格500ml的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．

(1)、求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；

(2)、若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000ml，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；

(3)、若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？

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21. 对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．

(1)、已知点 $A (- 4, 8)$ ， $B (6, 0)$ ， $C (6, 6)$ ， $D (- 2, 9)$ ．
①在上面四点中，与点 $E (- 5, - 7)$ 为“和合点”的是___________；
②若点 $F (- 3, 0)$ ，过点F作直线 $l ⊥ x$ 轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；
③若点 $M (2 a, 3 b)$ 在第二象限，点 $N (- 3 a, - b)$ 在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．

(2)、如图2，已知点 $H (- 5, 0)$ ， $K (0, 5)$ ，点 $R (x, y)$ 是线段 $H K$ 上的一动点，且满足 $x - y = - 5$ ，过点 $T (n, 0)$ 作直线 $m ⊥ x$ 轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1	已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2	学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3	（1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本．（2）计划设置一等奖a人，二等奖32人，三等奖b人，且 $a < 32 < b$ ．（3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1	确定单价	求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2	确定购买数量	将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3	确定购买人数	任务2中购买的奖品刚好全部发完，则 $a =$ 　　， $b =$ 　　．

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23.

素材1

某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ，竖杠长为 8 dm ，一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.

素材2

为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ，价格为 50 元/根.

(1)、【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢? (余料作废)】

方法①：当只裁剪 8 dm 长的用料时，最多可裁剪根.

方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时，余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料根.

方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时，余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料根.

(2)、【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏，需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算：分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料?

(3)、【任务三：劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ，再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根

16 d m 、 a

根

8 d m 、 b

根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问：购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余，请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）

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x	890	-2	-1	0	1	2	…
k₁x+b₁（k₁≠0）	…	-1	0	1	2	3	…
k₂x+b₂（k₂≠0）	…	-5	-3	-1	1	3	…

打折前一次性购物总金额	优惠方案
不超过400元	不打折
超过400元，但不超过600元	打九折
超过600元	其中600元部分打八折，超过600元部分打七折

类型	进价／（元／个）	售价／（元／个）
$A$ 款	$m$	120
$B$ 款	$n$	90

人教版七（下）数学第十章 二元一次方程组 单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

人教版七（下）数学第十章二元一次方程组单元测试培优卷