人教版七（下）数学第十章二元一次方程组单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-04-08 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是二元一次方程 $a x + 3 y = 0$ 的解，则点 $(a ， a - 3)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知x，y满足方程组 ${\begin{array}{l} x - m = 7 \\ y + 3 = m \end{array}$ 则无论m取何值，x，y满足(　　)

A、y－x＝－4 B、y－x＝4 C、y－x＝－10 D、y－x＝10

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3. 已知二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 1 \\ () \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 3 \end{matrix}$ ，则括号内的方程可能是（　　）

A、 $y - 4 x = - 5$ B、 $x = y - 1$ C、 $y = 2 x + 5$ D、 $2 x - 3 y = - 13$

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4. 若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 9 y = 4 k - 4 \\ 9 x + y = 6 k + 4 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 3$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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5. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 23 \end{array}$ 类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 13 \\ 2 x + 4 y = 26 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 8 \\ 2 x + 4 y = 26 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 8 \\ 2 x + 4 y = 6 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 18 \\ 2 x + 4 y = 26 \end{array}$

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6. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车：如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，何人与车各多少?设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 3 (y - 2) = x \\ 2 y - 9 = x \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 3 (y + 2) = x \\ 2 y + 9 = x \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 3 (y - 2) = x \\ 2 y + 9 = x \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 3 (y + 2) = x \\ 2 y - 9 = x \end{matrix}$

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7. 有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则 $x - y$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有 m张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是 ( )

A、2 023 B、2 024 C、2 025 D、2 026

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9. 已知关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，给出下列结论中正确的是（）
①当这个方程组的解x ， y的值互为相反数时， $a = - 2$ ；
②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 3 a$ 的解；
③无论 $a$ 取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变；
④当方程组的解x ， y都为自然数时，则 $a$ 有唯一值为0；

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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10. 小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余70000元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余110000元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低15%，收入比去年高25%、设去年的收入为x元，销售成本为y元，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 70000 \\ (1 + 25 %) x + (1 - 15 %) y = 110000 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 70000 \\ \frac{x}{1 - 25 %} - \frac{y}{1 + 15 %} = 110000 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 70000 \\ (1 + 25 %) x + (1 - 15 %) y = 110000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 70000 \\ \frac{x}{1 + 25 %} - \frac{y}{1 - 15 %} = 110000 \end{array}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 方程 $(m + 2) x^{m^{2} - 3} + y^{n^{2} - 8} = 2$ 是关于x ， y的二元一次方程，则 ${(m + n)}^{2} =$ ．

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12. 如果 ${\begin{cases} x = m \\ y = n \end{cases}$ 是方程 $2 x - 3 y = 2020$ 的一组解，那么代数式 $2024 - 2 m + 3 n =$ ．

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13. 如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则 $y$ 的值为．

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14. 小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为元．

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15. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 $\frac{1}{3}$ ，另一根露出水面的长度是它的 $\frac{1}{5}$ ．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ 3 (x + 2) + 2 (y - 4) = 6 \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{array}$

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17. 已知 $\frac{x + 4}{3}$ = $\frac{y + 3}{2}$ = $\frac{z + 8}{4}$ ，且x+y+z=12，求x，y，z的值．

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18. 已知 $\sqrt{2 x + y + 3} + |x - 3 y + 5| = 0$ ，

(1)、求x，y的值

(2)、求 $\sqrt{5 y - 10 x}$ 的平方根．

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19. 解决下列问题，请仔细体会其中的数学思想．

(1)、解方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = - 1 \\ 3 x + 2 y = 13 \end{array}$ 我们利用加减消元法，可以求得此方程组得解为______．

(2)、如何解方程组 $\{\begin{array}{l} 3 (m + 5) - 2 (n + 3) = - 1 \\ 3 (m + 5) + 2 (n + 3) = 13 \end{array}$ 呢？我们可以把 $m + 5, n + 3$ 分别看成一个整体，设 $m + 5 = x, n + 3 = y$ ，请写出剩余过程，求出原方程组的解．

(3)、已知关于 $m$ 、 $n$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 (m + n) - 2 (m - n) = - 2 \\ 3 (m + n) + 2 (m - n) = 26 \end{array}$ 则方程组得解为多少？请写出求解过程．

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20. 2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录，截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一，每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼，在春节前夕，某商家购进4，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表：
型号进价（元 / 对）
售价（元 / 对）
A
54
72
B
27
32

(1)、求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？

(2)、为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？

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21. 毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案：
方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元；
方案二：团体票（10人及以上）每张80元．

(1)、小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？

(2)、织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算；

(3)、现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由．

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22. 综合与实践
【任务驱动】
某校 $40$ 名同学要去参观某科技展览馆，已知该展览馆分为 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个场馆，根据以下素材，解决相应问题 $.$ 【素材收集】
素材 $1$ ：购买 $3$ 张 $A$ 场馆门票和 $2$ 张 $B$ 场馆门票共需 $280$ 元，购买 $5$ 张 $A$ 场馆门票和 $3$ 张 $B$ 场馆门票共需 $450$ 元 $. C$ 场馆门票为每张 $25$ 元．
素材 $2$ ：每名同学要选择且只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观 $.$ 参观当天刚好有优惠活动：每购买 $1$ 张 $A$ 场馆门票就赠送 $1$ 张 $C$ 场馆门票．
【问题解决】

(1)、求 $A$ 场馆和 $B$ 场馆的门票价格．

(2)、在出发前，大家的初步参观意向为有 $2 p$ 名同学想参观 $A$ 场馆， $p$ 名同学想参观 $C$ 场馆， $t$ 名同学想参观 $B$ 场馆，在大家的初步参观意向下，按照素材 $1$ 与素材 $2$ 的条件，所需花费的门票总金额为 $1670$ 元，求 $p$ 与 $t$ 的值．

(3)、到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观 $C$ 场馆的同学人数多于参观 $A$ 场馆的同学人数，按照素材 $1$ 与素材 $2$ 的条件，最终花费的门票总金额为 $1150$ 元，请求出符合条件的所有购买方案．

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型号	进价（元 / 对）	售价（元 / 对）
A	54	72
B	27	32

23. 随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：

类别

素材内容

素材1

（效率对比）

配送时间计算模型：

传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为 $20 km / h$ ，且取货加送货上楼固定消耗10分钟．

无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为 $60 km / h$ ，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟．

（注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长）

素材2

（运营成本）

某咖啡店的配送账单：

上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．

素材3

（运力升级）

新机型采购计划：

为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队．

旋翼A型：单价 $0.4$ 万元，最大载重15千克；

旋翼B型：单价 $0.6$ 万元，最大载重25千克．

公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买．

问题解决：

任务	内容
任务1	现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省__________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2	根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3	根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？

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人教版七（下）数学第十章 二元一次方程组 单元测试提升卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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