三角形的中位线定理——浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-04-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，要测量池塘边上B，C两点的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结AB，AC，并取AB，AC 的中点D，E，连结 DE，测出 DE 的长为20 米，则 B，C两点的距离为 ( )

A、20米 B、40米 C、20 $\sqrt{2}$ 米 D、20 $\sqrt{3}$

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2. 如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图 4-5-4，∠BAC 的平分线交△ABC 的中位线 DE 于点 F.若AC=10，AB=6，则EF的长为 ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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6. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为S，则 $S_{1} : S =$ （）

A、3：5 B、2：3 C、1：2 D、1：3

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7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG= $\frac{1}{2}$ AB，连接OF，EG．若▱ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）

A、12 $\sqrt{3}$ B、15 C、15 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{45}{2}$

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E ，使得∠CAB＝∠BAE ， ∠BAE=35^o ，过点E作 EF⊥AB于点F ， G为CE的中点，则∠FGB=( )

A、100^o B、110^o C、115^o D、145^o

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二、填空题

9. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， D是斜边 $A C$ 的中点， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 且 $B E ⊥ C E$ ，连接 $D E$ ，若 $A C = 20$ ， $B C = 12$ ，则 $D E$ 的长为．

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10. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为.

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11. 如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF= $\frac{1}{2}$ BC，若CF=3，则EF的长为.

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12. 如图，D，E分别是 $△ A B C$ 边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分 $∠ B D E$ ， $B D = 6$ ，则DE的长为.

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13. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4， CM是斜边AB上的中线，N是 BC 边上一点(不与点C重合)，D，E 分别为 CN，MN 的中点，则DE 的长是.

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14. 如图，直线 $y = \frac{2}{3} x + 4$ 与x轴、y轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点C，D分别为线段 $A B$ ， $O B$ 的中点，点 $P$ 为 $O A$ 上一动点，当 $∠ A P C = ∠ O P D$ 时，点 $P$ 的坐标为．

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三、解答题

15. 如图6，在□AB-CD 中，E 是 CD 的中点，F 是 AE 的中点，FC与 BE相交于点 G.求证：GF=GC.

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16. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $E ， F$ 分别是边 $A B ， A C$ 的中点，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $C D = \frac{1}{2} B C$ ，连结 $E F ， C E ， D F$ ．

(1)、求证：四边形 $C D F E$ 是平行四边形．

(2)、连结 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $O$ ，若 $A B = B D = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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17. 某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．

(1)、探究：如图 $1$ ，若四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，请你证明四边形的四条边长满足： $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ．

(2)、应用一：如图 $2$ ，若 $A F$ ， $B E$ 分别是 $Δ A B C$ 中 $B C$ ， $A C$ 边上的中线．且 $A F ⊥ B E$ 垂足为 $P$ ，求证： $A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}$ ；

(3)、应用二：如图 $3$ ， $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ ， $C D$ 的中点．若 $B E ⊥ E G$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 3$ ．求线段 $A F$ 的长．

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18. 如图

(1)、用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD=BC，P 是对角线BD 的中点，M是AB 的中点，N 是DC 的中点.求证： $∠ P M N = ∠ P N M;$

(2)、用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN 的延长线于点E，延长线段 BC交MN 的延长线于点 F.求证： $∠ A E M = ∠ F;$

(3)、用数学的语言表达
如图③，在 $△ A B C$ 中，AC<AB，点 D在AC上，AD=BC，M 是AB 的中点，N 是 DC 的中点，连结MN并延长，与BC的延长线交于点G，连结GD.若 $∠ A N M = 6 0^{\circ},$ 试判断 $△ C G D$ 的形状，并进行证明.

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