人教版数学七年级下册同步分层训练10.4 三元一次方程组的解法

试卷更新日期：2026-04-01 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ y + z = - 6 \\ z + x = 9 \end{array}$ ，则 $x + y + z$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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2. 以 ${\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \\ z = - 1 \end{cases}$ 为解建立三元一次方程组，不正确的是（）

A、 $3 x - 4 y + 2 z = 3$ B、 $\frac{1}{3} x - y + z = - 1$ C、 $x + y - z = - 2$ D、 $\frac{x}{2} - \frac{2}{3} y - z = 1 \frac{5}{6}$

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3. 由方程组 $\{\begin{array}{l} x - 2 y + 3 z = 0 \\ 2 x - 3 y + 4 z = 0 \end{array}$ 可得，x∶y∶z是（）

A、1∶2∶1 B、1∶（－2）∶（－1） C、1∶（－2）∶1 D、1∶2∶（－1）

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4. 解方程组 ${\begin{cases} 3 x - y + 2 z = 3 \\ 2 x + y - 4 z = 11 \\ 7 x + y - 5 z = 1 \end{cases}$ ，若要使运算简便，消元的方法应选取（）

A、先消去x B、先消去y C、先消去z D、以上说法都不对

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5. 已知 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = z ， \\ 3 x + 4 y = 2 z + 6 ， \end{array}$ 且 $x + y = 3$ ，则 $z$ 的值（）

A、为 9 B、为 -3 C、为 12 D、不确定

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6. 有甲、乙、丙三种货物，若购进甲3件，乙7件，丙1件，共需64元，若购进甲4件，乙10件，丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各一件，共需（）元

A、32 B、33 C、34 D、35

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7. 若x＋2y＋3z＝5，4x＋3y＋2z＝10，则x＋y＋z的值为.

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8. 已知方程 $(m - 1) x^{|m|} + y + 5 z = 4$ 是关于x，y，z的三元一次方程，则 $m =$ ．

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9. 某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需元．

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10. 解方程组 $\{\begin{array}{l} x = y + z \\ 3 x + y = 18 \\ x + y + z = 10 \end{array}$

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二、能力提升

11. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）

A、12元 B、10.5元 C、9.5元 D、9元

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12. 对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 ${\begin{cases} 2 x + y + z = 9 ①, \\ x + 2 y + z = 8 ②, \\ x + y + 2 z = 7 ③ \end{cases}$ 时，下列解法未实现这一转化的是( )

A、由①-②，②-③，得 ${\begin{matrix} x - y = 1, \\ y - z = 1 \end{matrix}$ B、由①-②，①×2-③，得 ${\begin{matrix} x - y = 1, \\ 3 x + y = 11 \end{matrix}$ C、由①-③，①×2-②，得 ${\begin{matrix} x - z = 2, \\ 3 x + z = 10 \end{matrix}$ D、由②-③，②×2-①，得 ${\begin{matrix} y - z = 1, \\ 3 y + z = 7 \end{matrix}$

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13. 探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y + z = 9 ① \\ 2 x + 3 y + 4 z = 11 ② \end{array}$ ，虽然解不出 $x, y, z$ 的具体数值，但可以解出 $x + y + z$ 的值．他的思路是： $① + ②$ 得 $5 x + 5 y + 5 z = 20$ ，所以 $x + y + z = 4$ ．根据以上探究，请解决下列问题：已知 ${\begin{array}{l} x + 3 y + 2 z = 6 \\ - 3 x + y - z = 7 \end{array}$ ，则 $x + y + z$ 的值为．

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14. 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了 2900 朵红花、3750 朵紫花，则黄花一共用了朵.

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15. 若对于有理数x和y，定义一种运算“ $△$ ”， $x △ y = a x + b y + c$ ，其中a、b、c为常数．已知 $3 △ 6 = 16 ， 7 △ 2 = - 4$ ，求5△4的值.

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16. 在等式y=ax²+bx+c中，若x=0，y=-3；若x=1，y=0；若x=2，y= ．

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三、拓展创新

17. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（）．

A、32元 B、33元 C、34元 D、35元

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18. 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（）

A、4张 B、5张 C、8张 D、9张

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19. 阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 可以写成矩阵 $(\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array})$ 的形式．例如： ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 \\ 5 x - 6 y = 33 \end{array}$ 可以写成矩阵 $(\begin{array}{l} 3 & 4 & 16 \\ 5 & - 6 & 33 \end{array})$ 的形式．
根据以上信息解决下列问题：

(1)、请求出矩阵 $(\begin{array}{l} 4 & 1 & 5 \\ 3 & - 2 & 3 \end{array})$ 对应的方程组的解；

(2)、若矩阵 $(\begin{array}{l} a & - 2 & 3 & 7 \\ 1 & b & 4 & 5 \\ 2 & - 1 & c & 8 \end{array})$ 所对应的方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{array}$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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