人教版数学七年级下册同步分层训练10.3 实际问题与二元一次方程组

试卷更新日期：2026-04-01 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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2. 列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（）

A、34 B、43 C、50 D、54

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3. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如：明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是( ).

A、-1，1 B、1，3 C、3，1 D、1，1

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4. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. 意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺. 设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5, \\ y - \frac{1}{2} x = 1 . \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5, \\ \frac{1}{2} x - y = 1 . \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5, \\ 2 y - x = 1 . \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5, \\ 2 x - y = 1 . \end{array}$

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5. 若 $- 2 a^{x} b^{x - y}$ 与 $5 a^{2} b^{5}$ 是同类项，则 $x =$ ， $y =$ ．

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6. 《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为里/小时．

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7. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了 $x$ 个，苦果买了 $y$ 个，根据题意，可列方程组是．

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8. 首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有块．

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9. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.

(1)、求每副象棋和围棋的单价：

(2)、若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？

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10. 用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为 $x cm$ ，宽为 $y cm$ ，求所拼成的地面的周长．

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二、能力提升

11. 在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（）
①（a-b）²=4； ②ab=15；③a²+b²=34； ④a²-b²=21.

A、①②③ B、0①②④ C、①③④ D、②③④

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12. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 $a$ ， $b$ ．如图，将甲纸条的 $\frac{1}{3}$ 与乙纸条的 $\frac{2}{5}$ 叠合在一起，形成长为81的纸条，则 $a + b =$ ．

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13. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为个．

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14. 小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为元．

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15. 我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区。如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m。

(1)、求每个大棚的长和宽各是多少？

(2)、当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由。

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16. 东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：

甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第1次
3
2
14
第2次
4
5
24.5

(1)、甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？

(2)、若果农共有 $18$ 吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？

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三、拓展创新

17. 工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 $a$ 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 $a$ 的值可能是（）

A、272 B、265 C、254 D、232

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18. 中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”

(1)、判断点 $A (\frac{3}{2}, - 1)$ 是否为“中山点”，并说明理由；

(2)、若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；

(3)、已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} y + q = 0, \\ x - 2 y = \sqrt{3} p + 2 q \end{array}$ 的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.

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19. 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.

(1)、求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？

(2)、已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？

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	甲种货车（辆）	乙种货车（辆）	总量（吨）
第1次	3	2	14
第2次	4	5	24.5