湘教版数学八年级下册 3.5 一次函数与二元一次方程的关系同步分层练习

试卷更新日期：2026-03-30 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 一次函数 $y = x + 1$ 和一次函数 $y = 2 x - 2$ 的图象的交点坐标是 $(3,4)$ ，据此可知方程组 $\{\begin{array}{l} x - y = - 1 \\ 2 x - y = 2 \end{array}$ 的解为( )

A、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 4 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = - 4 \\ y = - 3 \end{array}$

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2. 如图，直线y=-2x+5与y=kx+b交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 5, \\ - k x + y = b \end{matrix}$ 的解是（）

A、 ${\begin{matrix} x = 1, \\ y = 3 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 3, \\ y = 1 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 1, \\ y = 2 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 2, \\ y = 1 \end{matrix}$

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3. 如图，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} y - x = 3 \\ 2 y + x = 0 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} - y + x = - 3 \\ 2 y - x = 0 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} y - 2 x = - 3 \\ 2 y + x = 0 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} y - 2 x = 3 \\ 2 y + x = 0 \end{array}$

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4. 如果一次函数 $y = 3 x - 6$ 与 $y = 2 x + 2$ 的交点坐标为 $(a, b)$ ，那么是下列哪个方程组的解（　　）

A、 ${\begin{array}{l} x - 3 y = 6 \\ 2 x + y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x + 6 + y = 0 \\ 2 x - 2 - y = 0 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 6 \\ 2 x - y + 2 = 0 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 6 \\ 2 x - y = 2 \end{array}$

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5. 如图，一次函数 $y = 5 - x$ 与 $y = m x + n$ 图象的交点为 $A (2, 3)$ ，则方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 5 \\ m x - y = - n \end{array}$ 的解为．

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6. 若一次函数y=kx+b的图象与 $y = - \frac{4}{3} x$ 的图象相交于点M（3，m），则关于x，y的方程组 ${\begin{cases} k x + b - y = 0 \\ \frac{4}{3} x + y = 0 \end{cases}$ 的解是 .

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7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = x + 1$ 与 $y = k x + b$ （ $k$ 、 $b$ 为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象交点的横坐标为3，则关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = x + 1 \\ y = k x + b \end{array}$ 的解为

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8. 如图，点A的坐标可以看成是方程组的解．

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9. 利用一次函数的图象求二元一次方程组 ${\begin{matrix} x - y = 1 ， \\ 2 x - 3 y = 1 \end{matrix}$ 的解。

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二、能力提升

10. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = 2 x$ 与直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = k x + b$ 在同一平面直角坐标系内交于点 $P$ ，有下列结论： $①$ $k < 0$ ； $②$ $b > 0$ ； $③$ 当 $x < 1$ 时， $2 x < k x + b$ ； $④$ 关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 0 \\ k x + b - y = 0 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ．其中结论正确的个数是（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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11. 若以二元一次方程 $x + 2 y - b = 0$ 的解为坐标的点 $(x, y)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上，则常数 $b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- 1$ D、2

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12. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} y = - x + b \\ y = - 3 x + 2 \end{array}$ 的解是 $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = m \end{cases}$ ，则直线 $y = - x + b$ 与 $y = - 3 x + 2$ 的交点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13. 正比例函数y= kx（k为整数）的图象与直线y=x+8的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），那么满足条件的正比例函数有（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、无数个

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14. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，请写出函数y＝ $\frac{3}{4} x - 1$ 图像上和谐点的坐标：．

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15. 如图，菱形 $O A B C$ 的边长为5，对角线 $O B$ 的长为 $4 \sqrt{5}$ ，在平面直角坐标系的位置如图所示，点P是对角线 $O B$ 上的一个动点， $D (0, 1)$ ，当 $C P + D P$ 最短时，点P的坐标为．

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16. 中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹(方阵)表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式 $(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array} \begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \end{array})$ 来表示二元一次方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} ， \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} ， \end{matrix}$ 而该方程组的解就是对应两直线(不平行) $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ 与 $a_{2} x +$ $b_{2} y = c_{2}$ 的交点坐标 P(x，y).据此，矩阵式 $(\begin{array}{l} 4 \\ - 3 \end{array} \begin{array}{l} - 1 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array})$ 所对应两直线交点坐标是.

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17. 已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为(1， a)，试确定方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - y = 0, \\ x + y - b = 0 \end{matrix}$ 的解和a，b的值.

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三、拓展创新

18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，线段 $A B, C D$ 分别表示1号、2号两架无人机在队形变换中飞行的高度 $y_{1}, y_{2}$ （米）与飞行时间x（秒）的函数图象，其中 $y_{1} = 5 x - 50$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $P, B D ⊥ x$ 轴于点 $D, B C ⊥ y$ 轴于点C，点D的横坐标为30．
根据图象回答下列问题：

(1)、图中点B的坐标为_______．

(2)、求线段 $C D$ 对应的函数表达式，并求出点P的坐标．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，直线AC交轴于点 $C (0, 6)$ ，交直线 $O A$ 于点 $A (4, 2)$ ，有一动点M在线段 $O A$ 和线段 $A C$ 上运动．

(1)、求直线 $A C$ 的表达式．

(2)、分别求出 $△ O A C$ 与 $△ O A B$ 的面积．

(3)、是否存在点M，使 $△ O M C$ 的面积是 $△ O A C$ 的面积的 $\frac{1}{4}$ ？若存在求出点M的坐标．

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湘教版数学八年级下册 3.5 一次函数与二元一次方程的关系 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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