浙教版数学七年级下册 3.4 乘法公式培优卷

试卷更新日期：2026-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 4$ ， $a^{2} + b^{2} = 10$ ．若 $y = (a - b)^{2}$ ，则 $y =$ （）

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $4$

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2. 若a，b的值使得 ${(x - b)}^{2} - 1 = x^{2} + 4 x + a$ 成立，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、5 C、 $- 5$ D、1

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3. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ( )

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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4. 如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

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5. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为2和16，则图②所示的大正方形的面积为（）

A、32 B、34 C、36 D、38

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6. $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times \dots \times (2^{2 n} + 1)$ 的值是( ).

A、2⁴ⁿ-1 B、2⁴ⁿ+1 C、2²ⁿ-1 D、2"-1

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7. 利用乘法公式判断下列等式，其中成立的是( ).

A、 $24 8^{2} + 248 \times 52 + 5 2^{2} = 30 0^{2}$ B、 $24 8^{2} - 248 \times 48 - 4 8^{2} = 20 0^{2}$ C、 $24 8^{2} + 2 \times 248 \times 52 + 5 2^{2} = 30 0^{2}$ D、 $24 8^{2} - 2 \times 248 \times 48 - 4 8^{2} = 20 0^{2}$

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8. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（ $x > y$ ）．则① $x - y = n$ ；② $x y = \frac{m^{2} - n^{2}}{4}$ ；③ $x^{2} - y^{2} = m n$ 中，正确的是（　　）

A、①②③ B、②③ C、①③ D、①②

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9. 如图，边长为9的正方形 $A B C D$ 中放置两个长和宽分别为a， $b$ （ $a < 9$ ， $b < 9$ ）的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积 $S_{1} + S_{2} + S_{3}$ 为（）

A、18.5 B、21.5 C、27.5 D、35.5

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10. 一般地，如果 $x^{n} = a$ （ $n$ 为正整数，且 $n > 1$ ），那么 $x$ 叫作 $a$ 的 $n$ 次方根.例如：∵ $2^{4} = 16$ ， ${(- 2)}^{4} = 16$ ， ∴16的四次方根是 $\pm 2$ ．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若 $S = (3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) (3^{8} + 1) \dots (3^{k} + 1)$ ，则 $S$ 的三次方根是 $\sqrt[3]{\frac{3^{2 k} - 1}{2}}$ ；④当 $\sqrt{{(2023 + a)}^{2}} + \sqrt{{(a - 2025)}^{2}} = 4048$ 时，整数 $a$ 的二次方根有4050个．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 在多项式 $4 x^{2} + 1$ 中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是(只写出一个即可).

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12. 若 $x = 2^{m} + 1$ ， $y = 4^{m} + 3$ ，则用 $x$ 的代数式表示 $y =$ ．

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13. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是.

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14. 若将多项式 $4 a^{2} - 2 a + 1$ 加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是．（只要写出符合条件的一个）

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15. 已知 $a = \frac{1}{99} x + 2025$ ， $b = \frac{1}{99} x + 2024$ ， $c = \frac{1}{99} x + 2026$ ，则代数式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ 的值为．

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三、解答题

16. 阅读理解．
已知 ${(a - 12)}^{2} + {(14 - a)}^{2} = 6$ ，求 ${(a - 13)}^{2}$ 的值．
解：由 ${(a - 12)}^{2} + {(14 - a)}^{2} = 6$ ，可得 ${[(a - 13) + 1]}^{2} + {[(a - 13) - 1]}^{2} = 6$ ．
整理得 ${(a - 13)}^{2} + 2 (a - 13) + 1 + {(a - 13)}^{2} - 2 (a - 13) + 1 = 6$ ．
$2 {(a - 13)}^{2} + 2 = 6$
得 ${(a - 13)}^{2} = 2$ ．
请仿照上述方法，完成下列问题：

(1)、已知 ${(a - 98)}^{2} + {(96 - a)}^{2} = 10$ ，求 ${(a - 97)}^{2}$ 的值．

(2)、已知 ${(a - 2024)}^{2} = 8$ ，求 ${(a - 2025)}^{2} + {(2023 - a)}^{2}$ 的值．

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17. 【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$

(1)、如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 $a + b + c$ 的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．

(2)、利用（1）中所得到的结论，
已知 $a + b + c = 12$ ， $a b + b c + a c = 37$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值．

(3)、如图3，将两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形拼在一起， $B$ ， $C$ ， $G$ 三点在同一直线上，连接 $B D$ 和 $B F$ ．
①用含 $a$ ， $b$ 的式子表示阴影部分的面积 $S =$ ______
②若 $a + b = 8$ ， $a b = 10$ ，求阴影部分的面积 $S$ ．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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