人教版八年级下数学进阶测试 21.3特殊的平行四边形（三阶）

试卷更新日期：2026-03-26 类型：同步测试

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一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形 $A B C D$ ，中间是一个小正方形 $E F G H$ ，连接 $D E$ 与 $F G$ 相交于点M，延长 $D E$ 交 $B C$ 于点N，若M是 $D E$ 的中点， $A B = 8$ ，则 $E N$ 的长（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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2. 如图，在菱形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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3. 如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E， F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE 的最小值为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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4. 如图，P是正方形 ABCD 内一点， $B P = B C$ ， $∠ A P D = 9 0^{°}$ ，则 $\frac{S_{△ P C D}}{S_{△ P B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{7}$

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5. 如图，在菱形ABCD中， $∠ A = 6 0^{\circ},$ ，点 E，F分别在边AB，BC上， $A E = B F = 2, △ D E F$ 的周长为 $3 \sqrt{6},$ ，则AD的长为( ).

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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6. 如图，菱形 ABCD 中， $∠ A B C = 12 0^{°}$ ，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 $E F ∥ A D$ ， $C E = E F$ . 连结 AF、CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC. 则下列结论：
① $△ C E F$ 是等边三角形；② $A G = C G$ ；③ BG 垂直平分 AC；④ $2 B G = A D + C E$ .
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 是 $A D$ 上异于点 $A 、 D$ 的点， $∠ A B P + ∠ B P E = 90^{\circ}$ ，则 $\frac{B P}{P E}$ 的值是( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N^' ，则△MBN^'周长的最小值为（）

A、15 B、5+5 $\sqrt{5}$ C、10+5 $\sqrt{2}$ D、18

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9. 如图，正方形 ABCD的边长为3c m，E为CD 边上一点， $∠ D A E = 3 0^{\circ},$ ， M为AE 的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.若PQ=AE，则AP的长为 cm.

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10. 如图， $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $B E =$ BC ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ E C$ 交射线 $A E$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ ．若正方形边长为 $8, D F = 5$ ，则 $B F =$ 。

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11. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 5$ ，在 $C D$ 上任取一点 $E$ ，连接 $B E$ ，取 $B E$ 的中点 $P$ ，连接 $A P$ ，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 折叠，当点 $C$ 恰好落在 $A D$ 边上的点 $F$ 处时，则 $A P$ 的长为．

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12. 在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为.

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三、解答题：本大题共2小题，共11分。

13. 正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为直线 $A C$ 上一点（点 $E$ 不与点 $A$ ， $O$ ， $C$ 重合），连接 $B E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B E$ ，交直线 $A D$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作直线 $A C$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 在线段 $O C$ 上．
①求证： $B E = E F$ ；
②用等式表示线段 $A F$ ， $E C$ ， $A B$ 之间的数量关系，并加以证明．

(2)、当点 $E$ 在线段 $C O$ 的延长线上，直接用等式表示线段 $A F$ ， $E C$ ， $A B$ 之间的数量关系．

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14. 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.

(1)、如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；

(2)、如图 2，若 $∠ M A N = ∠ N M C = 4 5^{°}$ ，求证： $M C^{2} = N D^{2} + B M^{2}$ ；

(3)、如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，求四边形 EFMN 周长的最小值.

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