浙教版七（下）数学第五章分式单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-03-20 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列等式变形中，正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} + 1$ B、 $\frac{0.2 a + b}{0.5 a - b} = \frac{2 a + b}{5 a - b}$ C、 $x \div (x^{2} + x) = \frac{1}{x} + 1$ D、 $\frac{- 5 x - 1}{1 - x} = \frac{5 x + 1}{x - 1}$

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2. 若分式方程 $\frac{m - 1}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} = 0$ 有增根，则 $m$ 的值是（　　）

A、3 B、2 C、1 D、 $- 1$

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3. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + a}{x - 1}$ 的解为 $x = - 3$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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4. 关于x的方程 $\frac{m x - 1}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 2$ ，有整数解，则满足条件的整数m的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 1} - \frac{m x}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ 无解，则m的值不可能为（）

A、1 B、 $- 2$ C、0 D、4

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6. 已知分式 $\frac{3 x - n}{x + m}$ （m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）
x的取值
-2
2
a
0
分式的值
无意义
0
1
b

A、m=2 B、n=6 C、a=-4 D、b=-3

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7. 为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了 $25 %$ ，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（）

A、 $\frac{20 (1 + 25 %)}{x} - \frac{20}{x} = 4$ B、 $\frac{20}{25 % x} - \frac{20}{x} = 4$ C、 $\frac{20}{(1 + 25 %) x} - \frac{20}{x} = 4$ D、 $\frac{20}{x} - \frac{20}{(1 + 25 %) x} = 4$

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8. 某工程队铺设一段长为 $600$ 米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度 ▲ ．设原计划每天铺设管道 $x$ 米，可得方程 $\frac{600}{x} = \frac{600}{1.5 x} + 4$ ．根据此情境，题中用“ ▲ ”表示的缺失条件为（）

A、比原计划增加了 $50 %$ ，结果提前4天完成任务 B、比原计划增加了 $50 %$ ，结果推迟4天完成任务 C、比原计划减少了 $50 %$ ，结果提前4天完成任务 D、比原计划减少了 $50 %$ ，结果推迟4天完成任务

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9. 将两把不同刻度的直尺 $A$ 和直尺 $B$ ，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（）

A、 $\frac{24}{32} = \frac{9}{x + 10}$ B、 $\frac{24}{32} = \frac{9}{x - 10}$ C、 $x = 24$ D、直尺 $A$ 中的刻度18正对直尺 $B$ 中的刻度22

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10. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ，例如 $f (2) = \frac{2 \times 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{3}$ ， $f (3) = \frac{2 \times 3}{3 + 1} = \frac{3}{2}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{2}$ ，计算： $f (\frac{1}{301}) + f (\frac{1}{300}) + f (\frac{1}{299}) + ... + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (299) + f (300) + f (301) =$ （）

A、602 B、601 C、600 D、599

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知 $\frac{x + 5}{(x + 1) (x - 3)} = \frac{A}{x + 1} - \frac{B}{x - 3}$ ，则 $A =$ ， $B =$ ．

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12. 如果关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x - 5}{x - 4} - \frac{k}{4 - x} = 5$ 无解，那么实数 $k$ 的值是．

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13. 若分式方程 $\frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{a}{2 x - 2}$ 有增根，则a的值是．

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14. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（ $1$ 丈 $= 10$ 尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入 $896$ 文，每尺绫布和每尺罗布一共需要 $120$ 文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为.

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15. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是

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16. 为加快城市群的建设与发展，在 $A ， B$ 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 $120 k m$ 缩短至 $114 k m$ ．城际铁路的设计平均时速要比现行平均时速快 $110 k m$ ，设计运行时间仅是现行运行时间的 $\frac{2}{5}$ ，则城际铁路建成以后从 $A$ 地到 $B$ 地所花费的时间为小时．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：

(1)、 $\frac{0.01 - 0.2 x}{0.5 x - 0.03}$

(2)、 $\frac{\frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y}{\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y}$ ．

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18. 计算：

(1)、 $(5 a^{2} b - 3 a b^{2}) \div (3 b - 5 a)$ ．

(2)、 $(x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}) \div (x^{2} - 4 y^{2})$ ．

(3)、 $\frac{3}{x} - \frac{2}{5 y}$ ．

(4)、 $\frac{2 m}{m^{2} - 4} - \frac{1}{m + 2}$ ．

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19. 解分式方程．

(1)、 $\frac{x^{2} - 8}{x^{2} - 4} = 1 + \frac{1}{2 - x}$ ；

(2)、 $\frac{x - 2}{x - 3} = 2 + \frac{1}{2 (x - 3)}$ ．

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20. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
$\frac{8}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：① $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
② $\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .

(1)、判断 $\frac{2 x}{x^{2} - 9}$ 为（填真分式或假分式）；

(2)、仿照例子，将分式 $\frac{x - 1}{x + 2}$ 化为带分式.

(3)、若分式 $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ 的值为整数，求x的整数值.

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21. 【阅读材料】对于两个不等的非零实数 $a$ ， $b$ ，若关于 $x$ 的分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则解得 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．又因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以关于 $x$ 的方程 $x + \frac{a b}{x} - (a + b) = 0$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．例如：方程 $x + \frac{1 \times 2}{x} - (1 + 2) = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ．

(1)、【理解应用】方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} =$ ______， $x_{2} =$ ______．

(2)、【知识迁移】若方程 $x + \frac{5}{x} = 9$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、【拓展提升】若关于 $x$ 的方程 $\frac{x^{2} + 7}{x} = k$ 的解为 $x_{1} = t + 1$ ， $x_{2} = t + 2$ ，求 $k^{2} - 4 k + 8 t$ 的值．

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22. 给出定义：如果两个实数m，n使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的解是 $x = \frac{1}{m - n}$ 成立，那么我们就把实数m，n组成的数对 $〈 m, n 〉$ 称为关于x的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”．
例如：当 $m = 3$ ， $n = 2$ 时，使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{x} - 2 = 1$ 的解是 $x = \frac{1}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$ 成立，所以数对 $〈 3, 2 〉$ 称为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”．

(1)、在数对① $〈 1, 0 〉$ ；② $〈 - 2, 3 〉$ ；③ $⟨\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}⟩$ 中，_________（只填号）是关于x的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的“梦想数对”．

(2)、若数对 $〈 a - 3, 2 + a 〉$ 是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”求a的值．

(3)、若数对 $〈 c + d, d 〉 (c \neq \pm 1$ 且 $c \neq 0)$ 是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”，且关于 $y$ 的方程 $d y - c + 1 = 0$ 有整数解，直接写出整数c的值．

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23. 为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额加 400元”与“每次定量加40 升”.如果自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢?请以两种加油方式各加油两次予以说明.

(1)、分析问题：“更合算”指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升.
①两次加油，每次加 400 元的平均油价为元/升.
②两次加油，每次加 40 升的平均油价为元/升.

(2)、解决问题：请比较两种加油方式的平均油价，并通过计算说明哪种加油方式更合算.

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24. 根据以下素材，探索完成任务

素材1	某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2	可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一）	拟定裁切方案	一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废）方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根；方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根；方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二）	核算材料费用	班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三）	评价安装工效	同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装 $m$ 根竖杆或 $(7 - m)$ 根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求 $m$ 的值．

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x的取值	-2	2	a	0
分式的值	无意义	0	1	b

浙教版七（下）数学第五章 分式 单元测试培优卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

浙教版七（下）数学第五章分式单元测试培优卷