浙教版七（下）数学第四章因式分解单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-03-20 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列各式中，分解因式正确的是（）

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $x^{2} - \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2})$ C、 $m^{3} - m^{2} + m = m (m^{2} - m)$ D、 $x^{2} + 2 x - 3 = x (x + 2) - 3$

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2. 下列各式去括号或添括号运算正确的是( )

A、 $- \frac{1}{3} (6 x - 9 y + 3) = - 2 x - 3 y + 1$ B、 $(a - 2 b) - (- c + d) = a - 2 b + c - d$ C、 $2 x - x^{2} + y^{2} = 2 x - (x^{2} + y^{2})$ D、 $- 3 b + 2 c - d = - (3 b - 2 c - d)$

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3. 对于任意整数n，多项式 ${(4 n + 5)}^{2} - 9$ 都能（）

A、被6整除 B、被7整除 C、被8整除 D、被12整除

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4. 多项式 $9 x^{2} + 1$ 加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式是( )

A、 $\pm 6 x$ B、 $- 1$ 或 $\frac{81}{4} x^{4}$ C、 $- 9 x^{2}$ D、 $\pm 6 x$ 或 $- 1$ 或 $- 9 x^{2}$ 或 $\frac{81}{4} x^{4}$

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5. 已知x³+x²+x+1=0，则x^{2 023}+x^{2 022}+x^{2 021}+…+x²+x+2的值是( )

A、0 B、1 C、-1 D、2

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6. 等式“ $☐ a ^{2} + b ^{2} = - (2 a - b) (2 a + b)$ ”中的“□”表示的数是（）

A、4 B、 $- 4$ C、16 D、 $- 16$

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7. 若 $x^{2} + m x + 25$ 是完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、±10 B、±5 C、10 D、5

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8. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（）

A、甲对乙错 B、甲错乙对 C、甲和乙都对 D、甲和乙都错

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9. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 $x$ 的指数，他只知道该数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 $x^{◻} - 4 y^{2}$ ( “ $◻$ ” 表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有（）

A、1 种
B、2 种
C、3 种
D、4 种

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10. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将 $x^{2} - 9$ 因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将 $x^{3} - x$ 因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（）

A、141414 B、141315 C、131413 D、151415

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 多项式4x²+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是．

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12. 已知m（m+n)=12， n（m+n)=24，则m+n=。

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13. 已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 5 - m, \\ x - 2 y = m + 1, \end{array}$ 则4x²-4xy+y²的值为.

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14. 已知a²（b+c）＝b²（a+c）＝2025，且a≠b ，则abc=

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15. 分解因式： ${(2 x - 3 y)}^{3} + {(3 x - 2 y)}^{3} - 125 {(x - y)}^{3} =$ .

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16. 将多项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如： $x^{2} - 4 x - 5 = x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = {(x - 2)}^{2} - 9$ ，
$∵$ ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ ， $∴$ ${(x - 2)}^{2} - 9 \geq - 9$ ， $∴$ 当 $x = 2$ 时，多项式 $x^{2} - 4 x - 5$ 有最小值 $- 9$ ．
已知 $a$ ， $b$ 为实数，多项式 $(x + 3) (3 x + a)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $m$ ，多项式 $(3 x + 2) (x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $n$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，则当 $m + n = 17$ 时， $a b$ 的最大值为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 因式分解：

(1)、x⁴- 8x²y²+16y⁴

(2)、（a²+1）²-4a²

(3)、a²-2a（b+c） +（b+c）²

(4)、（x²-6）²-6（x²-6）+9

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18. 已知 $(a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) + m$ 是一个完全平方式，求常数m的值．

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19. 已知a＝4+n ， b＝2+n ， n为正整数．

(1)、求5^a÷5^b的值．

(2)、利用因式分解说明：2^a﹣2^b能被24整除．

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20. 如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 $(a > b),$ 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.

(1)、观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是；

(2)、如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.

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21. 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式 $x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）写成 ${(x + h)}^{2} + k$ （h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式 $x^{2} + k x + 4$ 是一个完全平方式，那么常数k的值为；
（2）配方： $x^{2} - 4 x - 6 = {(x - 2)}^{2} -$ ；
【知识运用】：
（3）已知 $m^{2} + 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求m，n的值．

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22. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$\begin{array}{r} 1 + x + x (x + 1) + x (x + 1)^{2} \\ = (1 + x) [(1 + x) + x (x + 1)] \\ = (1 + x)^{2} (1 + x) = (1 + x)^{3} \end{array}$

(1)、上述因式分解的方法是法，共应用了次；

(2)、若分解 $1 + x + x (x + 1) + x (x + 1)^{2} + \dots + x (x + 1)^{2024}$ ，分解因式得到的结果是

(3)、用上述方法分解因式： $1 + x + x (x + 1) + x (x +$ $1)^{2} + \dots + x \cdot (x + 1)^{n}$ (其中 $n$ 为正整数)，所得的结果是

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23. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“ $m^{2} - m n + 2 m - 2 n$ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为 $m^{2} - m n + 2 m - 2 n = (m^{2} - m n) + (2 m - 2 n)$ $= m (m - n) + 2 (m - n) = (m - n) (m + 2)$ ． “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：

(1)、分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} + 6 a - 12$ ；

(2)、已知 $m - n = 5$ ， $m n = 1$ ，求 $m^{2} n - m n^{2} - 2 m + 2 n$ 的值；

(3)、 $△ A B C$ 的三边 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} + c^{2} = 2 a c - a b + b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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24. 小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式 $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 2$ 进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式 $x + 2$ ，小轩认为必有因式是 $x - 2$ ，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
$\begin{array}{r} x + 2 \begin{matrix} x^{2} - 4 x + 1 \\ \begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 2 \\ x^{3} + 2 x^{2} \end{array} \end{matrix} \\ \bar{- 4 x^{2} - 7 x + 2} \\ \underline{- 4 x^{2} - 8 x} \\ x + 2 \\ \underline{x + 2} \\ 0 \end{array}$
$x - 2 \begin{matrix} x^{2} - 7 \\ \begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 2 \\ x^{3} - 2 x^{2} \\ \bar{\begin{array}{r} - 7 x + 2 \\ - 7 x + 14 \\ - 12 \end{array}} \end{array} \end{matrix}$

(1)、观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的；

(2)、已知多项式 $x^{3} - 6 x^{2} + 7 x + 6$ 的其中一个因式为 $x - 3$ ，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式 $x^{3} - 6 x^{2} + 7 x + 6$ 进行因式分解；

(3)、若多项式 $x^{3} - 3 x^{2} + m x + n$ 能因式分解成 $x + 1$ 与另一个完全平方式，求 $m$ 与 $n$ 的值．

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浙教版七（下）数学第四章 因式分解 单元测试培优卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

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