浙教版七（下）数学第三章整式的乘除单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-03-20 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 计算 $[{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}] \div (4 a b)$ 的结果为（）

A、2ab B、1 C、a-b D、a+b

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2. 已知 $x (x + 3) = 2023$ ，则代数式 $2 (x + 4) (x - 1) - 2012$ 的值为（）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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3. 若 $(x^{2} - 2 a x + 3) (x + 5)$ 的计算结果中不含 $x$ 的二次项，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 如图1，长方形的长为2a，宽为3b（a>b），用剪刀沿图中虚线剪成六个相同的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个新的长方形，则下列代数式不能表示图中阴影部分面积的是（）

A、（a-b）（a-2b） B、a（a+2b）-5ab C、 $a^{2} - 2 a b - b (a - 2 b)$ D、（a+b）（2b+a）-6ab

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5. 我们定义：＝a^b＋c ，＝p^m·qⁿ.若＝27，则的值为(　　)

A、4 B、16 C、64 D、256

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6. 若(x²＋px＋q)(x－2)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）

A、p＝2q B、q＝2p C、p＋2q＝0 D、q＋2p＝0

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7. 因式分解 $x^{2} + m x - 12 = (x + p) (x + q)$ ，其中 $m$ 、 $p$ 、 $q$ 都为整数，则这样的 $m$ 的最大值是（）

A、1 B、4 C、11 D、12

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8. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是（　　)
　　　　　　　　　

A、“20”左边的数是16 B、“20”右边的“”表示5 C、运算结果小于6 000 D、运算结果可以表示为4 100a＋1 025

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9. 如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为 $l_{1}$ ，面积为 $S_{1}$ ；图2中阴影部分周长为 $l_{2}$ ，面积为 $S_{2}$ ，若 ${(\frac{l_{2} - l_{1}}{2})}^{2} = 3 (S_{2} - S_{1})$ ，则b与c满足的关系为（）

A、 $3 b = 5 c$ B、 $b = 2 c$ C、 $3 b = 7 c$ D、 $6 b = 7 c$

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10. 如图，长为 $y (cm)$ ，宽为 $x (cm)$ 的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 cm$ ，下列说法中正确的有（）
①小长方形的较长边为 $y - 12$ ；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 $x - y + 4$ ；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当 $x = 20$ 时，阴影A和阴影B的面积和为定值．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”，什么是阿秒？1阿秒是10^-¹⁸秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一，目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为秒.

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12. 已知 $3^{a} \cdot 3^{a + 1} = 3^{5}$ ，则 $a =$ ．

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13. 已知 $x^{2} - 2 x = 2$ ，代数式 ${(x - 1)}^{2} + 2022 =$ ．

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14. 小天同学在课下研究两个有理数x和y，他发现若计算x+y，x-y，xy，x÷y的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算(2x)^y+4的值是.

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15. 已知多项式 $x^{3} - 2 x^{2} + a x - 1$ 为被除式，除式为 $b x - 1$ ，商式为 $x^{2} - x + 2$ ，余式为1，则这个多项式为．

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16. 图 1 是把两个边长为 $a$ 的正方形纸片和一个边长为 $b$ 的正方形纸片放置在长方形内，图 2 是把两个边长为 $b$ 的正方形纸片和一个边长为 $a$ 的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分. 设图 1 阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图 2 阴影部分面积为 $S_{2}$ . 若 $A B = m$ ， $a - b = \frac{m}{10}$ ，则 $S_{2} - S_{1}$ =（用含 m 的代数式表示）.

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 已知x²﹣3x+1＝0．

(1)、求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、求x³﹣2x²﹣2x+2024的值．

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18. 已知 $A = 3 x$ ， B是多项式，在计算 $B + A$ 时，小马虎同学把 $B + A$ 看成了 $B \div A$ ，结果得 $2 x^{2} - \frac{1}{3} x + 1$ ，试求

(1)、 $B + A$ 的值；

(2)、 $A^{2} - \frac{1}{2} B$ 的值．

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19. 计算：
① $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) (2^{64} + 1) + 1$
② $(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{4}}) (1 + \frac{1}{3^{8}}) + \frac{1}{2 \times 3^{15}}$

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20. 我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道 $(\frac{1}{2} x + 4) (2 x + 5) (3 x - 6)$ 的结果是一个多项式，并且最高次项为： $\frac{1}{2} x \cdot 2 x \cdot 3 x = 3 x^{3}$ ，常数项为 $4 \times 5 \times (- 6) = - 120$ ．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是 $\frac{1}{2} \times 5 \times (- 6) + 2 \times 4 \times (- 6) + 3 \times 4 \times 5 = - 3$ ，即一次项为 $- 3 x$ ．
请你参考上面的计算方法，解答下列问题：

(1)、计算 $(x + 1) (3 x + 2) (5 x - 3)$ 求所得多项式的一次项系数；

(2)、如果计算 $(x + 5) (- 2 x + a) (3 x - 3)$ 所得多项式中不含一次项，求常数 $a$ 的值．

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21. 在图1中，三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．

(1)、根据图2中的阴影部分面积关系直接写出下列代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， $a^{2} + b^{2}$ ， $a b$ 之间的数量关系：　；

(2)、根据完全平方公式的变形，解决下列问题：
①已知 $m + n = - 1$ ， $m^{2} + n^{2} ＝ 25$ ，求 $m n$ 和 ${(m - n)}^{2}$ 的值；
②已知 ${(x - 998)}^{2} + {(x - 1000)}^{2} ＝ 34$ ，则 $(x - 998) (x - 1000)$ 的值为．

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22. 【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$

(1)、如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 $a + b + c$ 的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．

(2)、利用（1）中所得到的结论，
已知 $a + b + c = 12$ ， $a b + b c + a c = 37$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值．

(3)、如图3，将两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形拼在一起， $B$ ， $C$ ， $G$ 三点在同一直线上，连接 $B D$ 和 $B F$ ．
①用含 $a$ ， $b$ 的式子表示阴影部分的面积 $S =$ ______
②若 $a + b = 8$ ， $a b = 10$ ，求阴影部分的面积 $S$ ．

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23. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)、若要拼出一个面积为 $(a + 2 b) (a + b)$ 的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片张．

(2)、根据所学知识，解决如下问题：
已知： $a + b = 7$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ， $a b$ 的值为；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 $(6 - x) (x - 2) = 3$ ．求 ${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法1∶ 设 $6 - x = m ， x - 2 = n$ ，则 $(6 - x) (x - 2) = m n = 3 ， m + n = 6 - x + x - 2 = 4$ ；
${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ ，
$= m^{2} + n^{2}$ ，
$= {(m + n)}^{2} - 2 m n$ ，
$= 4^{2} - 2 \times 3$ ，
$= 16 - 6$ ，
$= 10$ ；
方法2：
∵ $(6 - x) (x - 2) = 3$ ，
$∴ 6 x - 12 + 2 x - x^{2} = 3$ ，
$∴ x^{2} - 8 x = - 15$ ，
${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$
$= 36 - 12 x + x^{2} + x^{2} - 4 x + 4$
$= 2 x^{2} - 16 x + 40$
$= 2 (x^{2} - 8 x) + 40$
$= 2 \times (- 15) + 40$
$= - 30 + 40$
$= 10$ ．

(3)、任务：
请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ${(x - 25)}^{2} + {(23 - x)}^{2} = 10$ ，求 $(x - 25) (23 - x)$ 的值．

(4)、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 14$ ， $B C = 6$ ， E ， F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C ， C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N ，$ 若长方形 $C E P F$ 的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为．

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24. 如图 1，将一个长为 $4 a$ ，宽为 $b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图 2 的正方形．

(1)、由图 2 可以直接写出 $(a + b)^{2} ， (a - b)^{2} ， a b$ 之间的一个等量关系：

(2)、根据 (1) 中的结论，解决下列问题： $3 x + 4 y = 10 ， x y = 2$ ，求 $3 x - 4 y$ 的值．

(3)、两个正方形 $A B C D ， A E F G$ 如图 3 摆放，边长分别为 $x ， y$ ．若 $x^{2} + y^{2} = 34 ， B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试培优卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

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