人教版数学八年级下学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）

试卷更新日期：2026-03-19 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在 $\sqrt{24}$ ， $\sqrt{\frac{a}{b}}$ ， $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ ， $\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ ， $\sqrt{3 x}$ 中，最简二次根式的个数为(　　)

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（　　）

A、 $(3 \sqrt{5} + 7) m$ B、 $(5 \sqrt{3} + 7) m$ C、 $(7 \sqrt{5} + 3) m$ D、 $(3 \sqrt{7} + 5) m$

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3. 估计 $(1 + \sqrt{\frac{1}{5}}) \times \sqrt{5}$ 的值应在（）

A、2到3之间 B、3到4之间 C、4到5之间 D、5到6之间

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4. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE，CE.若AB＝5，BC＝3，则AE²－CE²等于（　　)

A、7 B、9 C、16 D、25

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5. 如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)

A、AC B、BC C、CD D、AD

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6. 如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 $\sqrt{2}$ m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 $\sqrt{34}$ m，则BB'的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ m B、2 $\sqrt{2}$ m C、 $\sqrt{5}$ m D、2 $\sqrt{3}$ m

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7. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C F$ 是 $A B$ 边上中线， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，若 $C F = 6$ ，则 $D E =$ （　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在菱形ABCD中， $∠ A = 6 0^{\circ},$ ，点 E，F分别在边AB，BC上， $A E = B F = 2, △ D E F$ 的周长为 $3 \sqrt{6},$ ，则AD的长为( ).

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E ， DF⊥CB于点F ，连接EF ，则线段EF的最小值是（　　）

A、5 B、2.5 C、2.4 D、4.8

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E为对角线 $A C$ 上与点A，C不重合的一个动点，过点E作 $E F ⊥ A B$ 于点F， $E G ⊥ B C$ 于点G，连接 $D E$ ， $F G$ ，下列结论： $① D E = F G$ ； $② D E ⊥ F G$ ； $③ ∠ B F G = ∠ A D E$ ； $④ F G$ 的最小值为3，其中正确的结论是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 已知|2024-a|+ $\sqrt{a - 2025}$ =a，则a-2024²=.

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12. 若 $\sqrt{(a - 1)^{2}} - (\sqrt{2 - a})^{2} = - 1$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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13. 若 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分为a ，小数部分为b ，则 $b =$ ，代数式 $(\sqrt{2} a + 2) \cdot b$ 的值是．

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14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F.若AB＝4，AD＝8，则BF的长为.

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三、解答题

15. 计算：

(1)、 $(\sqrt{12} - 3 \sqrt{75}) \times \sqrt{3}$ ．

(2)、 $(4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{8}) \div 2 \sqrt{2}$ ．

(3)、 $(3 - \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})$ ．

(4)、 $(\sqrt{5} + 2)^{2} - (\sqrt{5} - 2)^{2}$ ．

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16. 在解决问题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ，
$∴ a - 1 = \sqrt{2}$ ，
$∴ {(a - 1)}^{2} = 2, a^{2} - 2 a + 1 = 2.$
$∴ a^{2} - 2 a = 1.$
$∴ 3 a^{2} - 6 a = 3, 3 a^{2} - 6 a - 1 = 2.$
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简： $\frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ；

(2)、若 $a = \frac{11}{4 + \sqrt{5}}$ ，求 $- 2 a^{2} + 16 a + 1$ 的值．

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17. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， B C = \sqrt{3} ， A C = 2 \sqrt{6}$ ，求斜边 $A B$ 上的高 $C D$ ．

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18. 随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 $B D$ 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降11米，则他应该往回收线多少米？

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C ， A B = A D$ ，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O, A C$ 平分角 $∠ B A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{5} ， B D = 4$ ，求 $O E$ 的长．

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20. 图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱 $A B ⊥ l$ ， $P Q ⊥ A B$ ．伸缩杆 $C Q$ 的长度变化，带动旋转杆 $C M$ ， $A N$ 分别绕点O ， A转动、篮板 $M N$ 升降．已知 $M N = O A$ ， $O M = A N = 100 c m$ ， $O C = 50 c m$ ， $P B = 100 c m$ ， $O P = 120 c m$ ， $P Q = 40 c m$ ．

(1)、求证： $M N ⊥ l$ ；

(2)、当篮筐离地高度 $M H = 220 c m$ 时．
①判断四边形 $A O M N$ 的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆 $C Q$ 的长度为 ▲ cm；

(3)、受制造工艺限制，要求 $45 ° \leq ∠ A O C \leq 120 °$ ，求篮筐离地高度 $M H$ 的取值范围．

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21. （1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的垂直平分线与边 $A D$ 、 $B C$ 分别交于点E、F．求证：四边形 $A F C E$ 是菱形．
请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形纸片 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为 $D^{'}$ ，直线 $E F$ 分别交矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 、 $B C$ 于点E、F，若 $A B = 3, B C = 4$ ，求折痕 $E F$ 的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为 $D^{'}$ ，直线 $E F$ 分别交平行四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 、 $B C$ 于点E、F，若 $A B = \sqrt{2}, B C = 2$ ， $∠ B C D = 45 °$ ，求四边形 $A F C E$ 的面积．

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22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点 $E$ ，交DA的延长线于点F.若 $E F = 2 A B$ ，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴ $∠ D A C = 9 0^{∘}$ ， AD $∥$ BC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴ $A G = \frac{1}{2} E F .$ ……

(1)、任务一：上面证明过程中得出“ $A G = \frac{1}{2} E F$ ”的依据是；

(2)、任务二：完成材料证明中的剩余部分；

(3)、任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若 $B F = \frac{1}{2} A C$ ， $C F = 4$ ，请直接写出BF的长.

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