浙教版数学八年级下册 3.3 离差平方和与方差二阶

试卷更新日期：2026-03-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. A，B两名田径运动员进行了相同次数的100米跑测试，下列关于他们跑步成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（）

A、 $\bar{x_{A}} > \bar{x_{B}}$ 且 $S_{A}^{2} > S_{B}^{2}$ B、 $\bar{x_{A}} < \bar{x_{B}}$ 且 $S_{A}^{2} > S_{B}^{2}$ C、 $\bar{x_{A}} > \bar{x_{B}}$ 且 $S_{A}^{2} < S_{B}^{2}$ D、 $\bar{x_{A}} < \bar{x_{B}}$ 且 $S_{A}^{2} < S_{B}^{2}$

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2. 甲、乙两组数据的统计图如下，其中方差较大的一组是( )

A、甲
B、乙
C、一样大
D、不能确定

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3. 体育课上，体育老师记录了40位同学的实心球成绩，数据分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …… $x_{40}$ ．但由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了 $10 cm$ ，其实际数据分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …… $y_{40}$ ，比较记录成绩和实际成绩这两组数据，统计量不会发生变化的是（）

A、方差 B、中位数 C、众数 D、平均数

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4. 如图是甲、乙两射击运动员的 $10$ 次射击训练成绩的折线统计图，观察图形，设甲、乙这 $10$ 次射击成绩的方差分别为 $S_{甲}^{2}$ ， $S_{乙}^{2}$ ，则 $S_{甲}^{2}$ 和 $S_{乙}^{2}$ 的大小关系是( )

A、 $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$ B、 $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ C、 $S_{甲}^{2} = S_{乙}^{2}$ D、无法确定

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5. 数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄(岁)
$13$ 岁
$14$ 岁
$15$ 岁
$16$ 岁
人数(人)
$7$
$18$
$x$
$10 - x$
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（）

A、平均数、方差 B、中位数、方差 C、平均数、中位数 D、众数、中位数

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6. 题目：“已知5个数据 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ 的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} [{(a - 6)}^{2} + {(b - 6)}^{2} + {(c - 6)}^{2} + {(d - 6)}^{2} + {(e - 6)}^{2}]$ ，小程的式子为： $S^{2} = \frac{1}{5} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) - 36$ ．则小方，小程所列的式子（）

A、小方正确，小程错误 B、小方错误，小程正确 C、都正确 D、都错误

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7. 某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式： $S^{2} = \frac{1}{n} [(2 - \bar{S})^{2} + 3 \times (5 - \bar{S})^{2} + 5 \times (6 - \bar{S})^{2} + (8 - \bar{S})^{2}]$ ，则 $\bar{S}$ 的值是（）

A、1 B、5 C、5.25 D、5.5

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8. 已知5个均不相等的正数a₁ ， a₂ ， 7，a₃ ， a₄的平均数为7，方差为 $S_{1}^{2}$ ，而a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，这四个数的方差 $S_{2}^{2}$ ，则下列正确的是 $($ $)$

A、 $S_{1}^{2} \leq S_{2}^{2}$ B、 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$ C、 $S_{1}^{2} = S_{2}^{2}$ D、 $S_{1}^{2} > S_{2}^{2}$

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9. 如图，一个转盘被分成 $4$ 等分，每份内均标有数字，旋转这转盘 $5$ 次，得到 $5$ 个数字，经统计这列数的平均数为 $2$ ，下列判断正确的是( )

A、中位数一定是 $2$ B、众数一定是 $2$ C、方差一定小于 $2$ D、方差一定大于 $1$

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二、填空题

10. 一组数据的方差计算公式为 $S^{2} = \frac{1}{4} [(4 - x)^{2} + (5 - x)^{2} + (8 - x)^{2} + (3 - x)^{2}]$ ，则这组数据的方差是.

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11. 据 $x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}$ 的方差是2，则 $3 x_{1} - 2, 3 x_{2} - 2, ⋯, 3 x_{n} - 2$ 的方差为.

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12. 已知点(x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，(x₃ ， y₃)都在函数y=3x-7的图象上，若数据x₁ ， x₂ ， x₃的方差为3，则另一组数据y₁ ， y₂ ， y₃的方差为.

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13. 数据 $a ， 4 ， 2 ， 5 ， 3$ 的平均数为 $b$ ，且 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根，则这组数据的标准差是

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三、解答题

14. 甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环)依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10。

(1)、求甲第10次的射击成绩。

(2)、求甲这10次射击成绩的离差平方和。

(3)、若将这10个数据按从小到大排列，每5个数据一组分成两组，求这种分组情况的组内离差平方和。

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15. 某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：cm）
嘉淇的计算
解： ${\bar{x}}_{甲} = \frac{1}{6} (15 + 16 + 16 + 14 + 14 + 15) = 15 (c m)$
$S_{甲}^{2} = \frac{1}{6} [2 \times {(15 - 15)}^{2} + 2 \times {(16 - 15)}^{2} + 2 \times {(14 - 15)}^{2}]$
$= \frac{1}{6} \times (2 + 2)$
$= \frac{2}{3}$ ．

(1)、分别求出两段台阶高度的中位数；

(2)、嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

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年龄(岁)	$13$ 岁	$14$ 岁	$15$ 岁	$16$ 岁
人数(人)	$7$	$18$	$x$	$10 - x$

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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