北师大版数学七年级下册第三单元概率初步单元检测培优卷

试卷更新日期：2026-03-12 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜。已知这堆球的数量 $m$ 是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 将 $3 \times 3$ 方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的 $4$ 个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个 $2 \times 2$ 子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示．

A、 $\frac{1}{1024}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$ E、 $\frac{1}{4}$

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3. 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第 1 题的错误选项，第 2 题完全不会，他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)，为提高通关概率，他的求助使用策略为( )

A、两次求助都用在第 1 题 B、两次求助都用在第 2 题 C、在第 1、第 2 题各用一次求助 D、无论如何使用通关概率都相同

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4. 下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 $P$ ，则点 $P$ 落在阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{13}{50}$ C、 $\frac{13}{32}$ D、 $\frac{5}{16}$

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5. 班长邀请 $A ， B ， C ， D$ 四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则 $A ， B$ 两名同学座位相邻的概率是( )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得 $P$ （摸出一白一黑） $= P$ （摸出两黑），则放入的黑球个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 某商场举办促销活动，负责人在一个不透明的袋子里装着 $8$ 个大小、质量相同的小球，其中 $5$ 个为红色、 $2$ 个为黄色、 $1$ 个为绿色，若要获奖需要一次性摸出 $2$ 个红球和 $1$ 个黄球，那么获奖的概率为（）

A、 $\frac{25}{256}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{5}{14}$

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8. 一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于 $\frac{5}{4}$ n² ，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（）．

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{9}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关 $K_{1}, K_{2}, K_{3}$ 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．

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10. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒）
5
100
500
1000
3000
5000
发芽频数m
4
92
476
951
2851
4750
发芽频率
0.800
0.920
0.952
0.951
0.950
0.950
根据以上表格中的数据，估计该麦种的发芽概率为（精确到0.01）

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11. 水是生命之源．水分子的化学式为H₂O，即1个水分子H₂O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是．

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12. 一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有个白球．

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13. 现有长分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 的木条各一根，从这 5 根木条中任取 3 根，能构成三角形的概率是.

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三、解答题（共7题，共61分）

14. 如果一个两位正整数，其个位数字大于十位数字，则称这个两位数为“两位递增数”（如14，56，37）．在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取两张，组成一个“两位递增数”

(1)、写出所有个位数字是4的“两位递增数”：；

(2)、请用列表法或树状图，求组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．

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15. 2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为 A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次共调查了人，扇形统计图中 C 类对应的圆心角度数为；

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、学校预备开设AI类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A，B，C，D这四个类型进行资料收集和研讨．求甲乙两位同学抽中同一个类型的概率．

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16. 深圳盐田是深圳东部的一个滨海城区．它以其独特的山海资源、历史文化和多元体验成为热门旅游目的地．周末甲、乙两人从以下四个景区：A．大梅沙海滨公园，B．中英街，C．梧桐山国家森林公园，D．小梅沙海洋世界，随机选取一个景区参观游玩．假设这两人选择哪个风景区参观游玩不受任何因素影响，且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同．

(1)、甲选择到“中英街”参观游玩的概率为；

(2)、甲去过“小梅沙海洋世界”，乙去过“梧桐山国家森林公园”，如果各自去过的风景区不再选择，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．

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17. 如图，依据闯关的游戏规则，请你探究"闯关游戏"的奥秘.

(1)、用列表的方法表示所有可能的闯关情况.

(2)、求出闯关成功的概率。

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18. 【材料阅读】国务院总理李强5月15日上午在北京人民大会堂会见英中贸易协会主席古沛勤率领的英中贸协访华团时指出，中英两国经济有较强互补优势和巨大合作潜力．中方愿同英方密切经贸往来，分享发展机遇，拓展金融、新能源、生物医药、数字经济等领域合作，在共建“一带一路”框架下开展更多第三方合作，让互利共赢始终成为两国关系的主旋律．

(1)、根据材料，若中国和英国都在A．金融、B．新能源、C．生物医药、D．数字经济等四个领域中各自随机选择一个领域，请用列表法或画树状图法求出所有可能出现的结果；

(2)、求两个国家选到同一个领域的概率．

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19. 某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择.为了分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查他们的学习参与度，数据整理结果如下表.（数据分组包含左端值，不包含右端值）
参与度
方式人数
0.2~0.4
0.4~0.6
0.6~0.8
0.8~1
录播
4
16
12
8
直播
2
10
16
12

(1)、你认为哪种教学方式学生的参与度更高?请简要说明理由.

(2)、从选择教学方式为“直播”的学生中任意抽取一人，请估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少.

(3)、该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，请估计参与度在0.4以下的共有多少人.

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20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．

(1)、小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．

(2)、小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．

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试验种子数n（粒）	5	100	500	1000	3000	5000
发芽频数m	4	92	476	951	2851	4750
发芽频率	0.800	0.920	0.952	0.951	0.950	0.950