人教版八（下）数学第二十一章四边形单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-03-10 类型：单元试卷

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一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（　　）

A、一直增大 B、保持不变 C、先增大后减小 D、先减小后增大

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2. 如图，P是正方形 ABCD 内一点， $B P = B C$ ， $∠ A P D = 9 0^{°}$ ，则 $\frac{S_{△ P C D}}{S_{△ P B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{7}$

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3. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形 $A B C D$ ，以 $B H$ 为边再作一个正方形 $B H I J$ ，连结 $C H$ ， $D H$ ，则 $△ C D H$ 的面积为（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、7 C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{11}{2}$

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4. 如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E， F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE 的最小值为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E ，使得∠CAB＝∠BAE ， ∠BAE=35^o ，过点E作 EF⊥AB于点F ， G为CE的中点，则∠FGB=( )

A、100^o B、110^o C、115^o D、145^o

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6. 如图，在菱形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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7. 已知，如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是AD上方任意一点。若 $△ A D E$ 的面积为4， $△ E B C$ 的面积为 $16, △ E C D$ 的面积为10，则 $△ A B E$ 的面积为（）

A、2.5 B、2 C、1.5 D、1

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8. 如图，先有一张矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，点 $M, N$ 分别在矩形的边 $A D, B C$ 上，将矩形纸片沿直线 $M N$ 折叠，使点 $C$ 落在矩形的边 $A D$ 上，记为点 $P$ ，点 $D$ 落在 $G$ 处，连接 $P C$ ，交 $M N$ 于点 $Q$ ，连接 $C M$ ．下列结论：
① $C Q = C D$ ；
②四边形 $C M P N$ 是菱形；
③ $P, A$ 重合时， $M N = 2 \sqrt{5}$ ；
④ $△ P Q M$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $3 \leq S \leq 5$ ．其中正确的有（）．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 5$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $A D$ 、 $B D$ 上，且 $D E = D F$ ，连结 $B E$ ，若 $B E$ 平分 $∠ A E F$ ，则 $D E$ 的长为．

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10. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为.

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11. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点B，C关于EF对称，点M在EF上，点N在AE上，且点A，M关于BN对称，BM的延长线交AD于点H，CM交BD于点G，则 $\frac{A H}{C G}$ .

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12. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 12$ ，点P是 $B C$ 边上的点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为对称轴作 $△ A B P$ 的轴对称图形 $△ A Q P$ ，连接 $C Q 、 Q D$ ，当点P是线段 $B C$ 的中点，且 $C Q = 4$ 时，则 $A P$ 的长为．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，对角线 $A C, B D$ 相交于点O，点E，F分别在 $B C, C D$ 的延长线上，且 $C E = 2, D F = 1$ ， G为 $E F$ 的中点，连接 $O E$ ，交 $C D$ 于点H，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为．

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三、解答题：本大题共7小题，共72分.

14. 点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点，点 $E$ 在射线 $B C$ 上，且 $P E = P B$ ，连接 $P D$ ， $O$ 为 $A C$ 中点．

(1)、如图1，当点 $P$ 在线段 $A O$ 上时，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，
①试判断 $△ P D E$ 的形状，并说明理由；
②若正方形边长为 $4$ ，当点 $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $P E$ 的长为．

(2)、如图2，当点 $P$ 在线段 $O C$ 上时，试探究线段 $A P$ ， $C P$ ， $C E$ 的等量关系，并说明理由．

(3)、若 $A C = 10$ ，连接 $D E$ ，取 $D E$ 的中点 $Q$ ，则当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $C$ 时，点 $Q$ 所经过的路径长为．

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15. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【性质探究】
如图1，四边形 $A B C D$ 是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形 $A B C D$ 的两条结论，；
【问题解决】
如图2，以锐角 $△ A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 为边长，分别向外侧作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ，连接 $B E$ ， $E G$ ， $G C$ ．求证：四边形 $B C G E$ 是“中方四边形”；
【拓展应用】
如图3，已知四边形 $A B C D$ 是“中方四边形”， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，
（1）试探索 $A C$ 与 $M N$ 的数量关系，并说明理由．
（2）若 $A C = 6$ ，则 $A B + C D$ 的最小值是．

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16. 已知，正方形 $A B C D$ 和正方形 $D E F G$ 有一个公共顶点 D ， $A B = 4 ， D E = 2$ ，点 $H, O$ 分别是 $C E, E G$ 的中点，连结 $O H$ ．

(1)、如图1，当 $A, D, E$ 三点共线时，求 $O H$ 的长．

(2)、如图2，当 $A, D, E$ 三点不共线时，连结 $A E$ ，求证： $O H ⊥ A E$ ．

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $A O, A H$ ，当 $C, E, F$ 三点共线时，求 $A H^{2} - A O^{2}$ 的值．

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17. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 为斜边向上作一个直角三角形 $A B E$ ，其中 $A E > B E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A E$ 交 $A E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D A F$ ．

(2)、如图 $2$ ．连结 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，连结 $O E$ ，若 $O E = 3 \sqrt{2}$ ， $A F = 3$ ，求 $A B$ 的值．

(3)、如图 $3$ ，延长 $A E$ 至点 $G$ ，使得 $E G = E B$ ，连接 $C G$ ，试判断 $E F$ 与 $C G$ 的位置关系与数量关系，并证明．

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18. 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动、如图1，小华将矩形纸片ABCD（AB＞BC）折叠，点C落在BA边上的点F处，折痕为BE，连接EF，然后将纸片展开.

(1)、四边形BFEC的形状为；

(2)、如图2，点G是BC上一点，且CG=AF ，连接AG ， AM平分∠GAB交BE于点M ，连接AE ，猜想AE和ME的数量关系并加以证明；

(3)、在（2）的条件下，如图3，过点M作MN⊥AG ，垂足为点N.
①求 $\frac{B C - M N}{A G}$ 的值；
②若AN=21，GN=4，请直接写出AD的长度.

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19. （1）【课本再现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O，点O又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 $O E B F$ 为两个正方形重叠部分．正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕点O转动，则下列结论正确的是______（填序号即可）．
① $△ A E O ≌ △ B F O$ ；② $O E = O F$ ；③四边形 $O E B F$ 的面积总等于 $\frac{1}{4} S_{正方形 A B C D}$ ；④连接 $E F$ ，总有 $A E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ ．
（2）【类比迁移】
如图2，矩形 $A B C D$ 的中心 $O$ 是矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $A_{1} O$ 与边 $A B$ 相交于点 $E ， C_{1} O$ 与边 $C B$ 相交于点 $F$ ，连接 $E F$ ，矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕着点 $O$ 旋转，猜想 $A E ， C F ， E F$ 之间的数量关系，并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 3 cm ， B C = 4 cm$ ，直角 $∠ E D F$ 的顶点 $D$ 在边 $A B$ 的中点处，它的两条边 $D E$ 和 $D F$ 分别与直线 $A C ， B C$ 相交于点 $E ， F ， ∠ E D F$ 可绕着点 $D$ 旋转，当 $A E = 2 cm$ 时，求线段 $E F$ 的长度．

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20. 四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏.

(1)、【探究发现】
如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到 $△ A B' E,$ 点B 的对应点B'，将纸片展平后，连接BB'并延长交边CD于点F，小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为；

(2)、【类比探究】
如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，点A 的对应点为点A'，点B 的对应点为点 B'，将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F，请你猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系并证明：

(3)、【拓展延伸】
在(2) 的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9， CF=3.
①如图3，若线段 $A^{'} B^{'}$ 恰好经过点D，求AG的长，
②如图4，连接BG， EF，直接写出 $B G + E F$ 的最小值.

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人教版八（下）数学第二十一章 四边形 单元测试培优卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

三、解答题：本大题共7小题，共72分.

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