北师大版数学八年级下册 1.4线段的垂直平分线第二课时同步分层练习

试卷更新日期：2026-03-10 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是 ( )

A、作已知线段的垂直平分线 B、作一个角等于已知角 C、经过直线外一点作已知直线的垂线 D、作一个角的平分线

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2. 如图，在△ABC中， ∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别以点A 和点D 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，交AB，AC于点E，F，下列结论不一定成立的是 ( )

A、AE=ED B、EF⊥AD C、AF∥ED D、∠AEF=∠EAD

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以 $B$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $M$ ， $N$ 两点；②作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ．若 $C D = A C$ ， $∠ B = 20 °$ ，则 $∠ A C B$ =（）

A、 $120 °$ B、 $100 °$ C、 $140 °$ D、 $80 °$

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4. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　）

A、4 B、6 C、10 D、16

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5. 下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）

已知：如图，直线 $A B$ 及 $A B$ 外一点 $P$ ．

求作：经过点 $P$ ，且垂直于 $A B$ 的直线．

作法；（1）以点 $P$ 为圆心，适当的长为半径画弧，交直线 $A B$ 于点 $C ， D$ ．

（2）分别以点 $C ， D$ 为圆心，适当的长为半径，在直线 $A B$ 的另一侧画弧，两弧交于点 $Q$ ．

（3）过点 $P ， Q$ 作直线，直线 $P Q$ 为所求．

A、这两个“适当的长”相等 B、（1）中“适当的长”指大于点

P

到直线

A B

的距离 C、（2）中“适当的长”指等于线段

\frac{C D}{2}

的长 D、（2）中“适当的长”指大于点

P

到直线

A B

的距离

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 为钝角．用直尺和圆规在边 $A B$ 上确定一点 $D$ ．使 $∠ A D C = 2 ∠ B$ ，则符合要求的作图痕迹是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $△ A B C (A C < B C)$ ，用尺规作图的方法在 $B C$ 上确定一点P，使 $P A + P C = B C$ ，则符合要求的作图痕迹（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在△ABC中， AB=AC=2cm， ∠A=108°，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得CD 长度为cm。

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $D$ ， $C D = 5$ ， $△ B C E$ 的周长为 $24$ ，则 $B E =$ ．

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二、能力提升

10. 如图，在△ABC中， ∠C=90°，若 $A C = B C = 5 \sqrt{2}, A B = 10,$ 根据作图痕迹可知，△BDE 的周长是( )

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、10 D、12

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11. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的( )

A、三条中线的交点处 B、三条角平分线的交点处 C、三条高线的交点处 D、三条垂直平分线的交点处

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12. 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=6， BC=8，以点A为圆心， AC长为半径画弧，交AB 于点D，再分别以B、D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F，则线段BE的长为( )

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，且点 $D$ 在 $△ A B C$ 外，且点 $D$ 在 $A C$ 的垂直平分线上，连接 $B D$ ，若 $∠ D B C = 30 °$ ， $∠ A C D = 15 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、实践与操作：利用尺规过点 $C$ 作 $△ A B C$ 的高 $C F$ ， $F$ 为垂足． $($ 要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 $)$

(2)、猜想与证明：在（1）的条件下，试判断 $∠ A C F$ 与 $∠ B$ 的数量关系，并加以证明．

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15. 如图所示，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 120 ° ， E F$ 为 $A B$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于 $E$ ，交 $B C$ 于 $F ， B F = 5 cm$ ，求 $B C$ 的长．

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三、拓展创新

16. 小明用下列方法作射线 $O C$ ：①以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $O A$ 于点 $M$ ，交 $O B$ 于点 $N$ ；②分别以点 $M ， N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A O B$ 的内部相交于点 $C$ ；③画射线 $O C$ ．射线 $O C$ 即为所求．

(1)、如图1，写出一组相等角或线段：___________；

(2)、如图2，连接 $M N$ ，试说明射线 $O C$ 与线段 $M N$ 的位置关系；

(3)、如图3， $∠ A M N$ 的平分线与 $O C$ 相交于点 $D$ ，请说明点 $D$ 在 $∠ M N B$ 的平分线上．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线分别交线段 $A B ， B C$ 于点M，P， $A C$ 的垂直平分线分别交线段 $A C ， B C$ 于点 N，Q．

(1)、如图，当 $∠ B A C = 80^{\circ}$ 时，求 $∠ P A Q$ 的度数．

(2)、当 $∠ B A C$ 满足什么条件时， $A P ⊥ A Q$ ？说明理由．

(3)、在（2）的条件下， $B C = 10$ ，求 $△ A P Q$ 的周长．

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北师大版数学八年级下册 1.4线段的垂直平分线 第二课时 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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