北师大版数学八年级下册 1.3直角三角形第二课时同步分层练习

试卷更新日期：2026-03-10 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 如图，能直接用“ $HL$ ”判定 $Rt △ A B C ≌ Rt △ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的条件是（）

A、 $A B = A^{'} B^{'} ， A C = A^{'} C^{'}$ B、 $∠ A = ∠ A^{'} ， A B = A^{'} B^{'}$ C、 $A C = A^{'} C^{'} ， B C = B^{'} C^{'}$ D、 $∠ B = ∠ B^{'} ， B C = B^{'} C^{'}$

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2. 如图， $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $A B = D E$ ， $B C = E F$ ，则判定 $Rt △ A B C ≌ Rt △ D E F$ 的依据是（）

A、 $SAS$ B、 $AAS$ C、 $HL$ D、 $SSS$

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3. 在课堂上，李老师发给每人一张印有 $R t △ A B C$ （如图1）的卡片，然后要求同学们画一个 $R t △ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，使得 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'} ≌ R t △ A B C$ ．小宏同学先画出了 $∠ M B^{'} N = 90 °$ 之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A A S$ C、 $A S A$ D、 $H L$

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4. △ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )

A、∠C=∠A-∠B B、 $B . b^{2} = a^{2} - c^{2}$ C、∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5 D、 $D . a = 2, b = \sqrt{29}, c = 5$

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5. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $A D$ ， $B E$ 交于点F，则 $∠ A F E$ 的度数为（　　）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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6. 如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）

A、 $1, \sqrt{3}, 2$ B、 $1, 3, 4$ C、 $2, 3, 6$ D、 $4, 5, 6$

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7. 如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c.那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是 ( )

A、∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5 B、∠A=35°， ∠B=65° C、 $a = \sqrt{3}, b = 2, c = \sqrt{7}$ D、a=6， b=10， c=15

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，分别以点A、B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，交于点M、N，作直线 $M N$ 分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点D、E，连接 $A D$ ．若 $∠ B = 32 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数为°．

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9. 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置． $∠ C = 60 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D = ∠ A B C = 90 °$ ，边 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $E$ ，则 $∠ D E C$ 的度数为．

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是高，若 $∠ B = 58 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是．

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二、能力提升

11. 具备下列条件的 $△ A B C$ 中，不是直角三角形的是（）

A、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ B、 $∠ A = 2 ∠ B = 3 ∠ C$ C、 $∠ A - ∠ B = ∠ C$ D、 $A B : B C : A C = 5 : 12 : 13$

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12. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，点D，E分别在AB，AC上，CD=BE=9，记BD长为x，CE长为y，x＞y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）

A、xy B、x+y C、x-y D、x²+y²

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 与边 $B C$ 的垂直平分线 $M D$ 相交于 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于 $F$ ，下列结论：① $D E = D F$ ；② $D E + D F = A D$ ；③ $D M$ 平分 $∠ E D F$ ；④ $A B + A C = \sqrt{3} A D$ ；正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②④

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14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若 $\frac{△ A D E 的面积}{△ C D E 的面积} = 3$ ， BC=4，则△ABC的周长是.

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15. 如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 与 $B C$ 的垂直平分线 $D G$ 相交于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ， $A B = 20$ ， $A C = 10$ ，则 $B E =$ ．

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16. 如图，在一副三角板中， ∠B=∠D=90°， ∠A=45°， ∠E=30°. 解答下列问题：

(1)、当三角板按如图①的方式摆放时，若∠ACE=105°，求证： AB∥DC；

(2)、当三角板按如图②的方式摆放时，若AB∥EC，求∠ACD的度数.

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17. 如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.

(1)、求证： DE=DF.

(2)、已知AC=20， BE=4，求AB的长.

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三、拓展创新

18. 下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
方法一证明：如图，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ．
方法二证明：如图，在 $A B$ 上截取 $B D = B C$ ，连接 $C D$ ．

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北师大版数学八年级下册 1.3直角三角形 第二课时 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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