浙江杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

试卷更新日期：2026-02-10 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 18 < 0\} ， B = \{- 2, 0, 2, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2, 6\}$

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2. 已知z为复数，且 $| z | = 1$ ，则 $| z - 3 i |$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[3, 4]$ C、 $[2, 4]$ D、 $[2 \sqrt{2}, 4]$

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3. 已知 $△ A B C$ 满足 $| \vec{B C} | (\vec{B A} \cdot \vec{A C}) = | \vec{B A} | (\vec{B C} \cdot \vec{C A})$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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4. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，侧面 $P A D$ 为等边三角形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内运动，且满足 $M P = M C$ ，则点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内的轨迹一定是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，若 $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{5}{2}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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6. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} > 0$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 4, a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{8} = 16$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{8}}$ 的值为

A、2 B、4 C、8 D、16

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7. 已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线的左右焦点，且 $|F_{1} F_{2}| = \frac{b^{2}}{a}$ ， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，若 $S_{△ P F_{1} I} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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8. 已知正实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{3 a + 1}{a} = 3^{a} - a$ ， $\frac{4 b + 1}{b} = 4^{b} - b$ ， $\frac{5 c + 1}{c} = 5^{c} - c$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9. （多选）下列命题中，真命题的是（）

A、数据 $12 ， 14 ， 15 ， 17 ， 19 ， 23 ， 27 ， 30$ 的第70百分位数是23 B、若回归方程为 $\hat{y} = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量 $y$ 与 $x$ 成负相关 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、在线性回归分析中决定系数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D})}^{2} = 2 {(\vec{A C})}^{2}$ B、 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的投影是线段 $B D$ 的中点 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角大于 $45^{\circ}$ D、 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos x}{x}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 B、 $\cos 1 < \frac{3}{2 π}$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[0, + \infty)$ D、设函数 $g (x)$ 满足关系式 $g (x) = x g^{'} (x) - \sin x$ 且 $g (\frac{π}{2}) = - 1$ ，则 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 5$ 的对称中心是．

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13. 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 2 n + 3$ ， $a_{1} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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14. 某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为．

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四、解答题：共5小题，共77分．解答应与出文字说明、证明过程或验算步骤．

15. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2} = 11 ， S_{10} = 40$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 如图所示正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中 $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ .

(1)、当 $A A_{1} = 2$ 时，求 $A A_{1}$ 和平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角；

(2)、证明： $A A_{1} //$ 平面 $B C_{1} D$ ；若棱台高为3，求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 的体积.

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17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 $O$ 出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、 $p = \frac{1}{2}$ 时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率；

(2)、若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、若移动 $n$ 次后，质点最终所在位置的坐标为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望．

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18. 已知 $t$ 为正实数，曲线 $y = t e^{x}$ 与直线 $y = k x + b$ 交于不同的两点 $A (x_{1}, y_{1}) ， B (x_{2}, y_{2})$

(1)、若 $k = 1 ， b = 0$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、求证： $k < \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ；

(3)、若点 $A ， B$ 恰在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，求证： $k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

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19. 若 $\{a_{n}\}$ 为 $n$ 项数列 $(n \geq 3)$ ，若存在数列 $\{b_{n}\}$ 满足：① $b_{k} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}}{k} (k = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ；② $\{b_{n}\}$ 中的最大项为1，最小项为0，则称 $\{a_{n}\}$ 是“ $n$ -好数列”．

(1)、请写出所有第二项为 $\frac{3}{2}$ 的“3-好数列”；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为单调不增（即 $a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{2026}$ ）的“2026-好数列”，求 $a_{1} + a_{2026}$ 的最大值；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $n$ -好数列”，记 $M$ 为 $\{a_{n}\}$ 中的最大项， $m$ 为 $\{a_{n}\}$ 中的最小项，求 $M - m$ 最小值．

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