浙江省杭州市余杭区,富阳区,临平区,钱塘区,桐庐县2026届高三第一学期期末学业水平测试数学试题

试卷更新日期：2026-02-07 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1\}, B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知 $k$ 为实数， $\vec{a} = (k, 2), \vec{b} = (1, k - 1)$ ，则“ $k = 2$ ”是“向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为 $p$ ，中位数为 $m$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m < p < \bar{x}$ B、 $\bar{x} < p < m$ C、 $m < \bar{x} < p$ D、 $\bar{x} < m < p$

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5. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x) = f (1 - x)$ ，当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = 2 x + 1$ ，则 $f (\frac{5}{3}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ}, B C = 4, D$ 为 $B C$ 边上的中点，且 $A D = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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7. 已知 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点均在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右支上，若 $x_{1} x_{2} > y_{1} y_{2}$ 恒成立，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 上，有一系列点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2}), \dots, P_{n} (x_{n}, y_{n}), n \in N^{*}$ ，每个点 $P_{n}$ 均在函数 $y = x^{2} (x > 0)$ 的图象上.已知以点 $P_{n}$ 为圆心的 $⊙ P_{n}$ 均与 $x$ 轴相切， $⊙ P_{n}$ 与 $⊙ P_{n + 1}$ 外切，且 $x_{n + 1} < x_{n}$ ，则（）

A、 $\{x_{n}\}$ 是等比数列，且公比为 $\frac{1}{2}$ B、 $\{x_{n}\}$ 是等比数列，且公比为 $\frac{1}{4}$ C、 $\{\frac{1}{x_{n}}\}$ 是等差数列，且公差为2 D、 $\{\frac{1}{x_{n}}\}$ 是等差数列，且公差为4

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = sin 2 x - \sqrt{3} cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有3个零点

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10. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $K$ ，过 $K$ 的一条直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，则（）

A、 $|A F| \cdot |B K| = |B F| \cdot |A K|$ B、 $∠ F M K = ∠ F M A$ C、直线 $F A$ 与 $F B$ 的斜率之和为0 D、 $△ A B F$ 与 $△ M N F$ 的面积相等

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11. 二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为 ${(101)}_{2}, 12$ 表示为 ${(1100)}_{2}$ .自然数 $n$ 可表示为二进制表达式 ${(a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0})}_{2} (k \in N)$ ，则 $n = a_{k} \cdot 2^{k} + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + \dots + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{0}$ ，其中当 $n > 0$ 时， $a_{k} = 1, a_{i} = 0$ 或 $1 (i = 0, 1, \dots, k - 1)$ ，记 $F (n) = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} (k \in N, n \in N^{*}), G (n)$ 为整数 $n$ 的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（）

A、 $G (35) = 3$ B、对任意 $n \in N^{*}, F (2 n + 1) = F (n) + 1$ C、存在 $m, n \in N^{*}, F (m + n) > F (m) + F (n)$ D、 $\sum_{n = 1}^{63} 2^{G (n)} = 364$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为.

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13. 已知 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, 2 tan α = tan β$ ，则 $cos (2 α - 2 β) =$ .

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14. 公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数 $f (x) = 1 + ln x, g (x) = a \sqrt{x} - 1$ 的图象存在两条不同的公切线，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{2} = 5, S_{5} = 40, b_{3} = 4, b_{4} = a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\} ､ \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{matrix} a_{n}, & n 是奇数 \\ b_{n}, & n 是偶数 \end{matrix}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和.

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16. 冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”.

(1)、以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率.

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17. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, ∠ B A D = ∠ B A P = 90^{\circ}$ ， $A D = C D = 2 A B = 2, △ P A D$ 是正三角形.

(1)、设 $E$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $F$ 为棱 $P A$ 上一点，且 $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ，求 $\frac{A F}{F P}$ 的值；

(2)、设 $G$ 是棱 $P C$ 的中点，求证： $B G ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、设 $M$ 是棱 $P C$ 上一个动点，若直线 $D M$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求线段 $C M$ 的长度.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A, B$ 分别是椭圆 $C$ 的右顶点，上顶点，且 $|A B| = \sqrt{10}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (3, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，其中点 $M$ 在第一象限，点 $N$ 不在 $y$ 轴上，设直线 $B M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（i）求证： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值；
（ii）设直线 $B M$ 与 $x$ 轴交于点 $T$ ，求 $△ B N T$ 的面积 $S$ 的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{α} - m x + m - 1, m \in R$ .

(1)、当 $α = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值；

(2)、当 $α = 2$ 时，若 $f (x) \geq e^{x - 1} - 1$ 对任意 $x \in (- \infty, 1]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、设 $p \geq 0, q \geq 0, s > 0, t > 0$ ，且 $s + t = 1$ ，证明： $p^{s} q^{t} \leq p s + q t$ .

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