浙江绍兴市上虞区2026届高三第一学期期末教学质量调测数学试题

试卷更新日期：2026-02-24 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{1, 2, 3, 4\}, N = \{x ∣ x \leq 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $(1, 3)$

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2. 某射击运动员的10枪成绩分别为 $9.9, 9.7, 9.4, 9.0, 8.8, 9.2, 9.3, 9.2, 9.1, 9.4$ ，则这10枪成绩的第一四分位数是（）

A、9.0 B、9.1 C、9.2 D、9.4

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3. 已知复数 $z = cos \frac{2 π}{3} + i \cdot sin \frac{2 π}{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z^{2} + z$ 等于（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- i$ D、 $i$

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4. 已知函数 $f (x) = |lg x|$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + 3 b$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{3}, + \infty)$ B、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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5. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{5} + a_{7} + a_{9} = 27$ ，则 $2 a_{8} - a_{9}$ 的值为（）

A、18 B、15 C、12 D、9

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6. 已知 $a = 3^{ln 4}, b = 4^{ln 3}, c = 5^{ln 2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a = b > c$ D、 $a = b < c$

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7. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过椭圆 $C$ 上一点 $P$ 作切线 $P T$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，若 $∠ F_{2} P T = 45^{\circ}, ∠ F_{2} T P = 15^{\circ}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

A、 B、 C、 D、

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.

9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $a$ 的值为0.015 B、估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C、估计总体中成绩落在 $[80, 90)$ 内的学生人数105 D、估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85

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10. 设函数 $f (x) = (x - 1) (x - a) (x - b)$ ，其中 $a < 1 < b$ .则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 可能为奇函数 B、 $f (x)$ 既有极大值也有极小值 C、若 $f (x) f (2 - x) \leq 0$ 恒成立，则 $a + b = 2$ D、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $f^{'} (x) = 0$ 的两个不同实根，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 0$ ，则 $a + b > 2$

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11. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线 $P A, P B, P C$ 构成的图形称为三面角 $P - A B C$ ，记 $∠ A P C = α, ∠ B P C = β, ∠ A P B = γ$ ，二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $θ$ ，则 $cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos θ$ .在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, M$ 为线段 $A D$ 上动点， $△ A B M$ 绕 $B M$ 翻折至 $△ P B M$ ，记二面角 $P - B M - C$ 的平面角为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $cos ∠ P B C = cos ∠ P B M \cdot cos ∠ C B M$ B、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时，且 $M$ 为 $A D$ 中点，则 $P C ⊥ P B$ C、不存在 $θ$ 与 $M$ ，使得 $∠ P B C = ∠ P B M = ∠ C B M$ D、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，则 $P C$ 最小值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 $n =$ .

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13. 若曲线 $y = ln x + a$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，且在点 $P$ 处的切线相同，则实数 $a =$ .

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14. 如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜 $($ 它通过各扇门的机会相等 $)$ ，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A = \frac{2 π}{3}, A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ .

(1)、若 $sin B = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A B C$ 是边长为2的等边三角形， $A A_{1} = 4, \vec{A M} = 3 \vec{M A_{1}} . P$ 是棱 $B C$ 上一点，且由 $P$ 沿棱柱侧面经过棱 $C C_{1}$ 到达 $M$ 点的最短路线长为 $3 \sqrt{2}$ ，设这条最短路线与 $C C_{1}$ 的交点为 $N$ .

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $M N P$ ；

(2)、求平面 $M N P$ 和平面 $A B C$ 所成的二面角（锐角）的正切值.

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17. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n} - 1$ .
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）记 $b_{n} = a_{n} + (1 - λ) n$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2}$ 为数列 ${S_{n}}$ 中的最小项，求 $λ$ 的取值范围.

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ .过点 $T (t, 0) (t > 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于两点 $A, B$ ，过抛物线上一点 $D$ 作切线 $l_{D}$ ，且 $l_{D}$ $/ /$ $l$ .

(1)、当 $t = 1$ ，直线斜率为 $\frac{1}{2}$ 时，求弦 $A B$ 的长；

(2)、当 $|F A| = |F T|$ ，且 $△ A O D$ （ $O$ 为原点）的面积等于2时，求此时直线 $l$ 的方程.

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19. 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且其导函数为 $f^{'} (x)$ ，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得 $f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .已知函数 $f (x) = x ln x$

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e^{2}}, e^{2}]$ 上的值域；

(2)、已知 $0 < a < b, f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，求证：
（i） $2 ξ < a + b$ ；
（ii）若对满足 $0 < a < b < 3 a$ 条件的 $a, b$ ，不等式 $f (a) + f (b) < 2 f (\frac{a + b}{2}) + \frac{k}{2} (b - a)$ 恒成立，求整数 $k$ 的最小值.

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