浙江省丽水市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

试卷更新日期：2026-02-15 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{2, 3, 4\}, B = \{x |1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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2. 下列函数中，与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 有相同定义域的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $y = \sqrt{- x}$

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3. 函数 $f (x) = 2^{x}$ 与 $g (x) = \log_{2} x$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、 $y$ 轴对称 C、坐标原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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4. “ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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6. 已知x，y为正实数，则（　　）

A、2^lgx+lgy=2^lgx+2^lgy B、2^lg^（x+y）=2^lgx•2^lgy C、2^lgx•lgy=2^lgx+2^lgy D、2^lg^（xy）=2^lgx•2^lgy

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7. 已知 $s i n (α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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8. 已知实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a} = 3^{b - 1} = 5^{c - 2}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9. 下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = |x|$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = - x$

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10. 已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < - 2$ 或 $x > 3\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、关于x的不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x |x < - 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、关于x的不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}\}$

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11. 已知 $f (x) = \sin 3 x - \sin 2 x$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的两个零点，则（）

A、 $\sin x_{1} \cdot \sin x_{2} > \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\cos x_{1} \cdot \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$ C、 $\sin x_{1} + \sin x_{2} < \frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知扇形的半径为1，圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则该扇形的弧长为.

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 有两个实数根，一个根比 $1$ 小，另一个根比 $1$ 大，则实数 $m$ 的取值范围为.

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14. 以 $\max \{a, b, c\} (a, b, c \in R)$ 表示集合 $\{a, b, c\}$ 中最大的数，设 $0 < x < y < z < 1$ ，已知 $y \geq 3 x$ 或 $3 x + y \leq 1$ ，则 $\max \{y - x, z - y, 1 - z\}$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知 $\tan α = 2$ ， $α$ 为锐角．

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\tan (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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16. 如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米.

(1)、若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时 $x$ ， $y$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求方程 $g (x) = 1$ 在区间 $[0, π]$ 上所有实根的和.

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18. 已知偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 3^{x} + 3^{- x} + \log_{2} \frac{2 - x}{2 + x}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $m$ 的不等式 $g (m^{2} - 1) < g (m + 1)$ 的解集；

(3)、存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in [0, a] (0 < a < 2)$ 满足 $5 |g (x_{1}) - f (x_{2})| < 3 f (x_{3})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 若存在 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的次不动点.已知函数 $f (x) = a - a |2 x - 1|$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $\frac{2}{3}$ 是否为函数 $f (x)$ 的次不动点，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 有两个次不动点 $x_{1}$ ， $x_{2}$
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）若对任意 $x \in R$ ， $f (f (x)) \leq f (f (x_{3}))$ ，且 $x_{3} < \frac{1}{2}$ ， $P (x_{1}, f (f (x_{1}))), Q (x_{2}, f (f (x_{2}))), R (x_{3}, 0)$ ，求 $△ P Q R$ 面积的取值范围．

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