江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期期中调研数学试卷

试卷更新日期：2025-04-16 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若函数 $f (x) = x^{2}$ ，则当自变量 $x$ 由1变化到1.1时，函数 $f (x)$ 的平均变化率是（）

A、2 B、2.1 C、2.2 D、2.3

查看试题解析
2. 某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位： $mm$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $y = 18 \sin (\frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2})$ ，则该弹簧振子在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度是（）

A、 $0 mm/s$ B、 $6 π mm/s$ C、 $12 π mm/s$ D、 $18 π mm/s$

查看试题解析
3. 某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（）

A、 $C_{5}^{4}$ B、 $A_{5}^{4}$ C、 $5^{4}$ D、 $4^{5}$

查看试题解析
4. 如图，直线 $l$ 和圆 $C$ ，当 $l$ 从 $l_{0}$ 开始在平面上按顺时针方向绕点 $O$ 匀速转动（转动角度不超过 $90 °$ ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 $S$ 是时间 $t$ 的函数．这个函数的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 要从5名高二学生中选出3名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排的种数是（）

A、20 B、40 C、60 D、80

查看试题解析
6. $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $a$ ， ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 15$ B、75 C、135 D、165

查看试题解析
7. 若函数 $f (x) = e^{x + m} - \ln x$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $- 1 \leq m < 0$

查看试题解析
8. 用半径为4的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角 $α$ 是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（）

A、所有不同的排法种数为120种 B、如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C、如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D、如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种

查看试题解析
10. 若函数 $y = f (x)$ ，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 与 $x = 1$ 处的瞬时增长率相同 B、 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上不单调 C、 $y = f (x)$ 可能为奇函数 D、 $f (1.2) + f (1) > 2 f (1.1)$

查看试题解析
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20 B、在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 曲线 $y = \sin x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为.

查看试题解析
13. 在 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{10}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为．（用数字作答）

查看试题解析
14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是，其中能被3整除的“凹数”的个数是.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （1）求值：① $A_{4}^{1} + A_{4}^{2} + A_{4}^{3} + A_{4}^{4}$ ；
② $C_{9}^{1} + C_{9}^{3} + C_{9}^{5} + C_{9}^{7} + C_{9}^{9}$ .
（2）求证： $(n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$ ；

查看试题解析
16. 已知 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中按 $x$ 的降幂排列的第3项；

(3)、求展开式中项的系数最大的项.

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(a, a + 4)$ 上存在最大值，求实数 $a$ 的范围；

(3)、过点 $(0, m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $m$ 的范围.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的一个极值点是 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = x + \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{2} + (2 a + 3) x + a$ 只有一个公共点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = 2 x - m$ 有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
①求实数 $m$ 的范围，试比较 $x_{1} + \frac{1}{x_{1}}$ 与 $x_{2} + \frac{1}{x_{2}}$ 的大小关系，并说明理由；
②证明： $\ln (n + 1) < \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ .

查看试题解析