江苏省无锡市梅村高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

试卷更新日期：2025-05-04 类型：期中考试

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一、单选题（每题5分）

1. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{2}{x})}^{'} = 1 + \frac{2}{x^{2}}$ B、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} x + e^{x}}{x^{2}}$ D、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

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2. 已知随机变量X满足 $E (3 X + 1) = 10$ ， $D (\sqrt{2} X + \sqrt{2}) = 2$ ，则（）

A、 $E (X) = 31$ ， $D (X) = 4$ B、 $E (X) = 3$ ， $D (X) = \sqrt{2}$ C、 $E (X) = 3$ ， $D (X) = 1$ D、 $E (X) = 31$ ， $D (X) = 1$

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3. 已知命题 $p : f (x) = \ln x + 2 x^{2} + 6 m x + 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $q : m \geq - 5$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $g (x) = x \cdot f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $f (x)$ 有三个极值点 B、 $f (- 2)$ 为函数的极大值 C、 $f (x)$ 有一个极大值 D、 $f (- 1)$ 为 $f (x)$ 的极小值

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5. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位， $\dots$ ，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（）

A、57种 B、58种 C、59种 D、60种

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6. 函数 $f (x) = x \sin x + \cos x$ 在区间 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 上的最小值为（）

A、 $- \frac{3 π}{2}$ B、0 C、 $- \frac{7 π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$

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7. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（）

A、0.35 B、0.525 C、0.575 D、0.595

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8. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其导函数记为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < \frac{f (x)}{x}$ 恒成立，若 $f (2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(1, 2) \cup (- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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二、多选题（每题6分）

9. 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = n) = \frac{a}{(n + 1) (n + 2)} (n = 0, 1, 2)$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、 $P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1$ B、 $a = \frac{4}{3}$ C、 $P (0 \leq X < 2) = \frac{8}{9}$ D、 $P (X = 1) = \frac{2}{3}$

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10. 若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \dots + a_{5} {(1 - x)}^{5}$ ，其中 $a_{i} (i = 0, 1, \dots, 5)$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$ D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = 1$

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11. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $a = b$ （mod m）．若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + ... + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b$ （mod 10），则b的值可以是（　　）

A、2011 B、2012 C、2020 D、2021

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三、填空题（每题5分）

12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) s i n x - c o s x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{4}) =$ .

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13. ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为.

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14. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \frac{1}{2}, g (x) = e^{2 x},$ 若 $g (x_{1}) = f (x_{2}),$ 则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值为．

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四、解答题

15. （1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.

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16. 在 ${(a x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 $79$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{2}$ ，试求展开式中系数最大的项.

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17. （1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记 $X = \{\begin{matrix} 0, 两球全是白球 \\ 1, 两球不全是白球 \end{matrix}$ ，求 $X$ 的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过 $2 h$ ，这些人的近视率约为 $60 %$ .现从每天玩手机不超过 $2 h$ 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？

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18. 设函数 $f (x) = a x - \frac{b}{x}$ ，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．

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19. 已知函数f(x)= $e^{x}$ -ln(x+m).

(1)、设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)、当m≤2时，证明f(x)>0.

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