江苏省淮安市淮安区2024-2025学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题

试卷更新日期：2025-05-13 类型：期中考试

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一、单选题（共8小题满分40分）

1. 复数 $z = \frac{5}{- 1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知点 $A (2, 3), B (- 1, 7)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 方向相反的单位向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3, \vec{b} = (\sqrt{3}, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{4}, - \frac{9}{4})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\sqrt{3}, 3)$

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4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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5. 在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知 $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ， $E B = \sqrt{2}$ ，则隧道DE的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}$ C、10 D、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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6. 已知 $α ， β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$

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8. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $(a^{2} - b^{2} - c^{2}) \sin C \cos C = b c$ $\cos (B + C)$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ B、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ C、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$

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二、多选题（共3小题满分18分）

9. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（）

A、若 $|z_{1}| \leq 1$ ，则 $- 1 \leq z_{1} \leq 1$ B、若 $|z_{1}| + |z_{2}| = 0$ ．则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1} > z_{2}$ ，则 $z_{1} - z_{2} > 0$

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10. 已知点M在 $△ A B C$ 所在平面内一点，则（）

A、若M为BC中点， $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{\sqrt{3} \vec{A M}}{|\vec{A M}|}$ ，则 $\vec{B M}$ 是 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影向量 B、若 $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则面积比 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ A B C}} = \frac{1}{3}$ C、若 $\vec{M A}$ ， $\vec{M B}$ ， $\vec{M C}$ 的夹角两两相等， $|\vec{M A}| = |\vec{M B}| = 1$ ， $|\vec{M C}| = 3$ ，则 $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = 2$ D、若 $△ A B C$ 为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则 $\vec{E A} \cdot \vec{E M}$ 的取值范围为 $[\frac{23}{16}, 3]$

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11. 设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 \sqrt{3}, A = \frac{π}{3}$ ，下列结论正确的是（）

A、若满足条件的三角形有2个，则 $b$ 的取值范围为 $(2 \sqrt{3}, 4)$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为3 C、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $6 \sqrt{3}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{b}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$

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三、填空题（共3小题满分15分）

12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $S_{△ A B C} = 2$ ，若 $E$ 为 $A C$ 中点，则 $B E$ 长为.

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13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 $P - A B C$ 为鳖臑， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $P A = A B = B C = 1$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的大小为.

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14. 勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形 $A B C$ 边长为2，点P为圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，且满足： $S_{△ A B P} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值为．

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四、解答题（共5大题满分77分）

15. 设复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = 1 - m i$ $(m \in R)$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 是实数，求 $\bar{z_{1} z_{2}}$ ；

(2)、在复平面内，复数 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

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16. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $λ$ 为何值时，向量 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 垂直？

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17. 在① $\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 2 b c sin A$ ② $cos A = \frac{2 b - a}{2 c}$ ③ $a sin \frac{A + B}{2} = c sin A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足__________.

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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18. 定义函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ 的“积向量”为 $\vec{m} = (a, b)$ ，向量 $\vec{m} = (a, b)$ 的“积函数”为 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $b = - \sqrt{3}$ ，求 $f (x)$ 最大值及对应 $x ¨$ 的取值集合；

(2)、若向量 $\vec{m} = (a, b)$ 的“积函数” $f (x)$ 满足 $\frac{f (\frac{π}{7})}{f (\frac{9 π}{14})} = \tan \frac{13 π}{42}$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(3)、已知 $\vec{m} = (2 \cos α, 2 \sin α)$ ， $\vec{n} = (2 \cos β, - 2 \sin β)$ ，设 $\vec{O P} = λ \vec{m} + μ \vec{n} (λ > 0, μ > 0)$ ，且 $\vec{O P}$ 的“积函数”为 $g (x)$ ，其最大值为 $t$ ，求 $(t - 2) (λ + μ)$ 的最小值，并判断此时 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的关系.

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19. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C = B C = 1$ ， $A C = 2$ ， $A P = \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $P B$ 的中点为 $M$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上，且满足 $D B = D P$ .

(1)、求证： $P B ⊥ C D$ ；

(2)、当平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C$ 时，
①求点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离；
②若 $N$ 为 $A B$ 的中点，求平面 $P A C$ 与平面 $M N C$ 夹角的余弦值.

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