江苏省南京市第二十九中学、常州中学、南菁中学2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-04-29 类型：期中考试

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一、选择题（共8小题）

1. 曲线 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 2)$ ， $\vec{c} = (7, 6, λ)$ ，若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $λ$ 的值为（）.

A、8 B、9 C、10 D、11

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3. 北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（）

A、2880 B、1440 C、720 D、576

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4. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = B C = A A_{1} = 2$ ，点P为侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 上的任意一点，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P C_{1}}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[2, 4]$ D、 $[3, 5]$

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5. 已知 $a = \frac{l n 2}{2}, b = \frac{1}{e}, c = \frac{l n 3}{3}$ ，则a ， b ， c大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据 $ξ$ （单位：cm）服从正态分布 $N (200, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \geq 220) = 0.1$ ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 $ξ$ 在 $(180, 220)$ 的人数为 $X$ ，则（）

A、 $P (180 < ξ < 220) = 0.9$ B、 $P (X \geq 1) = 0.992$ C、 $E (X) = 3$ D、 $D (X) = 0.16$

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7. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{23}$

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8. 已知 $a > 0$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = x e^{x} - a$ 与 $g (x) = - \frac{\ln x}{x} - a$ 的零点，则 $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2} e^{a - x_{1}}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{e^{2}}$ B、 $\frac{4}{e^{2}}$ C、 $\frac{6}{e}$ D、 $\frac{8}{e^{2}}$

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二、多选题（共3小题）

9. 下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 的概率分布列为 $P (X = n) = a n (n = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $a = \frac{1}{10}$ B、若随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.4$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.2$ C、若随机变量 $X ~ B (10, \frac{1}{5})$ ，则 $D (X) = \frac{8}{5}$ D、在含有4件次品的10件产品中，任取3件， $X$ 表示取到的次品数，则 $P (X = 1) = \frac{1}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{e}$ B、 $e < x_{1} < \frac{1}{a}$ C、 $x_{1} x_{2} > e^{2}$ D、若 $a = \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}} (x_{3} > 1)$ ，则 $e^{x_{3}} = x_{2}$

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11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱 $A B F - D C E$ 组合而成， $A B ⊥ A F$ ， $A B = A D = A F = 4$ ， $G$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上的动点.则（）

A、 $G$ 为 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点时，平面 $E F B C ⊥$ 平面 $B C G$ B、 $G$ 为 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点时，异面直线 $E C$ 与 $B G$ 之间的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、存在点 $G$ ，使得直线 $C F$ 与平面 $B C G$ 所成的角为 $60 °$ D、 $P$ 为 $E D$ 所在直线的动点，则 $|F P| - |P G|$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + 2$

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三、填空题（共3小题）

12. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (- 4, 2, t)$ 的夹角为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为．

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13. 设函数 $f (x) = \sin x + e^{x} - e^{- x} - x + 3$ ，则满足 $f (x) + f (3 - 2 x) < 6$ 的x的取值范围是.

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14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为 $X$ ，则随机变量X的期望是；若抛掷2024次骰子，记得分恰为 $n$ 分的概率为 $P_{n}$ ，则当 $P_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为.

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四、解答题（共6小题）

15. 已知 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求：

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中所有的有理项.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ， $g (x) = a \ln x - x$ .

(1)、若 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $[1, 2]$ 单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a < 0$ 时，若对任意的 $x_{1} \in [\frac{1}{e}, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [\frac{1}{e}, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， $A A_{1} = 3$ ，且 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点P、Q分别是棱 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点.

(1)、在底面 $A B C D$ 内是否存在点 $M$ ，满足 $C_{1} M ⊥$ 平面 $C P Q$ ?若存在，请说明点 $M$ 的位置，若不存在，请说明理由；

(2)、设平面 $C P Q$ 交棱 $A A_{1}$ 于点T，平面 $C P T Q$ 将四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成上，下两部分，求 $C T$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.

(1)、求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)、求第一局比赛甲获胜的概率 $p_{0}$ ；

(3)、现用 $p_{0}$ 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} e^{2 x} - x$ ，且定义域为 $[0, + \infty), a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有2个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \geq (1 - a) e^{x} + (\frac{3 a}{2} - 1) cos x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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