广东省惠州市2026届高三上学期第二次调研考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-18 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1. 复数 $\frac{1 - 2 i}{2 + i} =$ （）

A、 $i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- i$

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2. 已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 2 = 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{- 2, 1\}$ B、 $\{- 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{1, 2\}$

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3. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a^{2} = b^{2}$ ”是“ $2^{a} = 2^{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $f (x) = ln (2 x + 3) - ln (- 2 x + 1)$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \frac{3}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递减 C、在 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递增 D、在 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减

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5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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6. 已知 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上不同的两点， $|A F| + |B F| = 3$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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7. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = 4 n^{2} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、414 B、406 C、403 D、393

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8. 在 $△ A B C$ 中，记内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为2， $B$ ， $C \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $sin (2025 π - A) + \cos^{2} B + \cos^{2} C = 2$ ，则 $b + c$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 2 a_{2} + a_{3}$ ，设其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $S_{10} < 2025$ D、 $a_{n} + a_{n + 1} < a_{n + 2}$

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10. 已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{3}$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- \sqrt{5}$ C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ D、双曲线 $C$ 上存在不同两点 $M, N$ 关于点 $Q (1, 1)$ 对称

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11. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 不是常数函数，且 $f (2 x) + f (x + y) f (x - y) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x) f (- x) = 2$ C、 $f (3) = {[f (1)]}^{3}$ D、 $f (x) + f (- x) \leq - 2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{a} = (t, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = 2 cos (x - \frac{π}{2}) + \frac{3}{x} + 3$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ .

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14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则满足 $|a - b| + |b - c| + |c - a| = 6$ 的情况有种.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + θ)$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .设 $P (1, \sqrt{3})$ 为角 $α$ 终边上的一点，求 $g (2 α)$ .

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16. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B // D C$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = D C = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} N //$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、求直线 $D_{1} N$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离；

(3)、求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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17. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 $x_{i}$ /分
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且 $∑_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1690$ .

(1)、求 $\bar{x}$ ；

(2)、若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用 $X$ 表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 的值分别作为 $μ$ ， $σ^{2}$ 的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 $[43, 82]$ 的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望.
附：若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) = 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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18. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $A (2, 3)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，离心率 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；

(3)、过点 $F_{2}$ 且斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{2} + k_{3} - λ k_{1}$ 为定值?若存在，求出 $λ$ 及该定值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = x - ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ ，有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2 (n \in N^{*})$ ．

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序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩 $x_{i}$ /分	38	41	44	51	54	56	58	64	74	80