四川省成都市石室成飞中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

试卷更新日期：2026-02-12 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 数据3，7，8，9，12的第60百分位数是（）

A、 $7.5$ B、 $8$ C、 $8.5$ D、 $9$

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2. 已知直线 $l : 2 x + 3 y + 12 = 0$ ，则直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为（）

A、4 B、 $- 4$ C、6 D、 $- 6$

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3. 已知方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 4} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1), \vec{b} = (\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知直线 $3 x - 4 y + 2 = 0$ 是圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 a x = 0 (a > 0)$ 的一条对称轴，则圆 $M$ 和圆 $N : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{9}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、外离

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6. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 均为单位向量， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = ⟨\vec{b}, \vec{c}⟩ = 90^{°}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ = 60^{°}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件 $A$ 为“第一次向下的数字为1或2”，事件 $B$ 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{4}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{1}{7}$

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8. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为 $1$ 的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的 $A$ 点，当放入一个半径为 $3$ 的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的 $A$ 点，则 $p$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 9)$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 2 \sqrt{2})$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在 $[10, 50]$ 的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（）

A、 $a = 0.03$ B、该场观众年龄众数的估计值为40 C、该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D、该场观众年龄平均数的估计值为35

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10. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、短轴长为 $\sqrt{3}$ B、椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ D、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - 2 = 0$ 相离

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点， $P$ 为四边形 $A B C D$ 内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $E - A B D$ 外接球的表面积为9π B、若 $P E = \sqrt{3}$ ，则点P的轨迹长度为 $\sqrt{2} π$ C、 $P E + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{17}$ D、若直线 $P E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $P B$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为 $150$ ， $105$ ， $120$ .根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取 $25$ 人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取人.

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x - y + 2 = 0$ 平行，则C的离心率为．

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14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过 $A (3, 0)$ ， $B (1, 2)$ 两点，

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点 $P (0, 2)$ 的直线 $l$ 与圆C相交于M，N两点，且 $|M N| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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16. 分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．

(1)、两个焦点坐标分别是 $(- 2, 0), (2, 0)$ ，并且经过点 $(\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$ 的椭圆方程；

(2)、焦点在直线 $x + 3 y + 15 = 0$ 上的抛物线方程.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⟂ A B, A D = 2, A B = 1, P B = \sqrt{3}, P D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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18. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖.

(1)、已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率；

(2)、当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件 $A$ ， “乙恰好获得一个二等奖”为事件 $B$ .
（i）顾客乙中二等奖的概率；
（ii）判断事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为 $2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过 $A_{1}$ 作直线 $l$ ，交椭圆上的另一点 $B_{1}$ ，过 $A_{2}$ 作直线 $l_{2}$ 交椭圆上的另一点 $B_{2}$ ，两条直线的斜率为 $k_{1}, k_{2} (k_{1} k_{2} \neq 0)$ ．
（i）若 $k_{1} = \frac{2}{3} k_{2}$ ，则直线 $B_{1} B_{2}$ 是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）若直线 $B_{1} B_{2}$ 过点 $G (1, 0)$ ，分别记 $△ A_{1} B_{1} G$ 和 $△ A_{2} B_{2} G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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