浙江省杭州市杭州高级中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2026-02-12 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{- 2, - 1, 1, 2\}, B = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 2\}$

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i$ ， $z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{1} z_{2}$ 的模 $|z_{1} z_{2}|$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (3, 1)$ ，则 $| 3 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 函数 $y = 8 {(x - 2)}^{2} \ln |x|$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 记 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积，已知 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ，则 $T_{10} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从 $A ， B ， C ， D ， E$ 这5种菜中任意选用2种，则 $A$ 菜有2人选用、 $B$ 菜有1人选用的情形共有（）

A、54 B、81 C、135 D、162

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7. 过 $B_{1} (0, - 1)$ 作直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 于另一点 $E$ ，连接 $B_{2} (0, 1)$ 和 $E$ 的直线交椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 于另一点 $F$ ，设直线 $B_{1} E$ 、 $B_{1} F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，则 ( )

A、 $k_{1} = 2 k_{2}$ B、 $k_{1} = 2 \sqrt{3} k_{2}$ C、 $k_{1} = 3 k_{2}$ D、 $k_{1} = 4 k_{2}$

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8. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 2$ ， $f (4 - x) + f (x) = 4$ ，设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f^{'} (k + \frac{1}{2})] =$ （）

A、65 B、70 C、75 D、80

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（）

A、若数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的方差为0，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 B、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} (n \geq 5)$ ，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C、数据 $- 2, - 1, 3, 7, 8, 9, 10, 11$ 的第70百分位数是8.5 D、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - 0.5 x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为-1

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像关于 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5π}{12})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{11π}{12})$ 上有两个极值点 C、直线 $x = \frac{7π}{6}$ 是 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = - \sqrt{3} x - \frac{1}{2}$ 是 $y = f (x)$ 的切线

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11. 在 $x O y$ 平面上，抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在曲线 $E$ 上且位于第一象限，设 $∠ P F O$ 的角平分线交 $l$ 于点 $Q$ ，交 $E$ 于点 $S$ .已知 $| Q S | = 2 | S F |$ ，点 $S$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $T$ ，则以下说法正确的有（）

A、 $P Q ⊥ l$ B、 $| P F | = 2$ C、 $P, F, T$ 三点共线 D、 $Q, O, T$ 三点共线

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $(1 + x) {(\frac{2}{x} - x)}^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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13. 在三棱锥 $A B C D$ 中，对棱 $A B = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = B C = \sqrt{5}$ ， $A C = B D = \sqrt{5}$ ，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.

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14. 在四边形ABCD中，已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ ， $∠ A B C = 2 ∠ B A C$ ， $|D B| = 2 |D A|$ ，若C，D两点关于y轴对称，则 $|C D| =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} - a^{2} = a c$

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{a}{c}$ 的取值范围．

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16. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A_{1} B = A B$ ， $A_{1} A = A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B$ ⊥平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A_{1} D$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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17. 进行独立重复试验，设每次成功的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，则失败的概率为 $1 - p$ ，将试验进行到恰好出现 $r$ 次成功时结束试验，以 $X$ 表示试验次数，则称 $X$ 服从以 $r$ ， $p$ 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为 $X \sim N B (r, p)$ ．

(1)、若 $X \sim N B (3, \frac{1}{3})$ ，求 $P (X = 5)$ ；

(2)、若 $X \sim N B (2, \frac{1}{2})$ ， $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ．
①求 $\sum_{i = 2}^{n} P (X = i)$ ；
②要使得在 $n$ 次内结束试验的概率不小于 $\frac{3}{4}$ ，求 $n$ 的最小值．

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18. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F (3, 0)$ ， $F$ 到其中一条渐近线的距离为 $2$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点（其中 $A$ 在第一象限），交直线 $x = \frac{5}{3}$ 于点 $M$ ，
（i）求 $\frac{|A F| \cdot |B M|}{|A M| \cdot |B F|}$ 的值；
（ii）过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B$ 、 $x$ 轴于 $P$ 、 $Q$ ，记 $\vec{M Q} = λ \vec{Q P}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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19. 设 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{1}{2} x^{2} + b$ ， $x \in R$ ， $a \in R$ .已知函数 $y = f (x) - x^{2}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $x^{2} + x \leq f (x) \leq - 2 + \frac{4}{2 - x} + \frac{1}{2} x^{2}$ 是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例.

(3)、证明：若正实数 $x_{0}$ 满足 $\frac{1}{n} \leq f (x_{0}) \leq \frac{2}{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，则必有 $\frac{1}{n + 1} \leq x_{0} \leq \frac{2}{n + 2}$ ．

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浙江省杭州市杭州高级中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．