湖南省长沙市望城区第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2026-02-10 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{i - 1} = |2 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $i$ C、1 D、 $\sqrt{5} i$

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2. 已知集合 $A = \{x \in N | \frac{1}{x - 2} > 0\}$ ，则集合 $∁_{U} A$ 的子集的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, λ)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、2或 $- \frac{7}{2}$ B、 $- 2$ 或 $\frac{7}{2}$ C、2或 $\frac{7}{2}$ D、 $- 2$ 或 $- \frac{7}{2}$

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4. 已知命题p“ $\forall x \in R, (a + 2) x^{2} - 2 a x + 1 < 0$ ”，若命题P为假，则a的取值范围为（）

A、R B、(- $\infty$ ， -2） C、（- $\infty$ ， -2] D、（- $\infty$ ， -1]U[2，+ $\infty$ )

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5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 $21 \times 21$ 大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有 $2^{441}$ 种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为 $3 \times 10^{11}$ 秒，那么大约可以用（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3, \lg 3 \approx 0.5$ ）

A、 $10^{117}$ 万年 B、117万年 C、 $10^{205}$ 万年 D、205万年

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6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（）

A、 $52 {πcm}^{2}$ B、 $\frac{640 π}{3} {cm}^{2}$ C、 $\frac{4000 π}{3} {cm}^{2}$ D、 $400 {πcm}^{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ， $f (x) > f (x - 1) + f (x - 2)$ ，且当 $x < 3$ 时 $f (x) = x$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $f (10) > 100$ B、 $f (20) > 1000$ C、 $f (10) < 1000$ D、 $f (20) < 10000$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $M$ 是双曲线左支上的一点，且 $3 |M F_{2}| = 5 |M F_{1}|$ ，则此双曲线离心率的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为BC的中点，则（）

A、 $A D ⊥ A_{1} C$ B、 $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} D$ C、 $A D / / A_{1} B_{1}$ D、 $C C_{1} / /$ 平面 $A A_{1} D$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3})$ （ $0 < ω < 1$ ），且满足 $f (x) \geq f (- \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 6)$ 上单调递增 C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) = - f (\frac{4 π}{3} - x)$ D、将 $f (x)$ 的图像向右平移 $2 π$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，那么 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$

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11. 如图，某电子实验猫线路图上有 $A$ ， $B$ 两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行， $A$ ， $B$ 两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $p (0 < p < 1)$ .同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在 $A$ 处遇到红灯的次数为 $X$ ，在 $A$ ， $B$ 两处遇到红灯的次数之和为 $Y$ ，则（）

A、 $P (X = 3) = \frac{40}{243}$ B、 $D (X) = \frac{8}{9}$ C、一次实验中， $A$ ， $B$ 两处至少遇到一次红灯的概率为 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} p$ D、当 $p = \frac{2}{5}$ 时， $E (Y) = \frac{11}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的 $x^{2}$ 系数为．

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13. 若直线 $y = 2 x + 5$ 是曲线 $y = e^{x} + x + a$ 的切线，则 $a =$ .

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14. 已知直线 $l : a x - b y - 2 c = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 6 y + 8 = 0$ 交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则 $|A B|$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设 $A B = A_{1} B, A A_{1} = 2$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的高．

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16. 如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D$ ， $C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $H$ 为直线 $A E$ 上的点．

(1)、证明：四边形 $A B F E$ 为平行四边形；

(2)、已知 $D E = \sqrt{5}, C F = \sqrt{13}$ ．
（i）求 $\cos ∠ E F C$ ；
（ii）若 $A D = D E, A F = 2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $C - B F - H$ 的余弦值．

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17. 杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：
市外游
市内游
合计
男生
14
6
20
女生
8
12
20
合计
22
18
40

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；

(2)、在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．
①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；
②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ ，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为 $Q_{n}$ ，求数列 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3}$ ，其中 $0 < k < \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 的极值点和零点.
（i）设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t)$ .证明： $g (t)$ 在区间 $(0, x_{1})$ 单调递减；
（ii）比较 $2 x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的大小，并证明你的结论．

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19. 已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $E$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，且 $E$ 为 $O B$ 的中点.

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、斜率不为0的动直线 $l$ 过点 $E$ 交椭圆 $G$ 于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $M$ ，直线AD，BC交于点 $N$ .
（i）设直线 $B C$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2}$ 为定值；
（ii）以 $M N$ 为直径的圆被 $x$ 轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.

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	市外游	市内游	合计
男生	14	6	20
女生	8	12	20
合计	22	18	40

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828