湖南省邵阳市武冈市第二中学2025-2026学年高一年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2026-02-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x ∣ \log_{2} x \leq 1}$ ， $B = {x ∣ 3 - x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 1}$ B、 ${x ∣ x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ D、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$

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2. “ $x > 6$ ”是“ $\frac{1}{x - 5} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $a = {0.4}^{0.2}, b = \log_{3} 0.2, c = 2^{0.1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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4. 函数 $f (x) = \frac{cos x}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为了得到函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{5 π}{12})$ 的图象，可以把函数 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位长度

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6. “黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8：5，设 $∠ C A B = α$ ．则 $\frac{\cos 2 α}{\sin 2 α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{49}{89}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{39}{80}$

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7. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + x_{1} - f (x_{2}) - x_{2}}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，且 $f (3) = 0$ ，若 $f (2 m + 1) > 2 - 2 m$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ 满足 $f (x + π) = f (x)$ ，且在 $(0, \frac{π}{6})$ 没有零点，则 $ω$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $3^{a} < 3^{b} < 1$ C、 $|a - b| < a b$ D、 $\ln a^{2} > \ln b^{2}$

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10. （多选）已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, 0 < | φ | < π$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、函数 $y = 1$ 与 $y = f (x) (- \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{23π}{12})$ 的图象的所有交点的横坐标之和 $\frac{8π}{3}$

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11. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x - 1)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - | x |$ ，则（）

A、 $f (2026) = - 1$ B、 $f (x)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递减 C、 $y = f (x + 5)$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = \lg | x |$ 有且仅有 $8$ 个不同的实数解

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $y = \log_{a} (2 x - 3) + 5 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点.

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13. 已知 $\cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{17 π}{6}) =$ .

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14. 函数 $f (x) = x \log_{a} x - 3$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = x \cdot a^{x} - 3$ 的零点为 $x_{2}$ ，其中 $a \geq 3$ ．则 $2 x_{1} + 4 x_{2}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. （1）计算 ${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} + \lg 8 + \sin \frac{4 π}{3} - \lg \frac{1}{125} + \tan \frac{7 π}{4}$
（2）设 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，计算 $\frac{1}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α + \sin α \cos α}$ 的值

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16. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 3 m + 1} (m \in R)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减， $g (x) = f (x) + a x - 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $g (x)$ 的表达式并直接写出 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调区间．

(2)、若 $g (x)$ 在 $[1, 3]$ 上的最小值为 $2$ ，求 $a$ 的值．

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17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{array}{l} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{array}$ ；已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且在 $t = 10$ 处函数图象是连续不断的.

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}, t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ．函数 $g (x)$ 图象与 $f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．

(1)、求 $g (x)$ 的表达式．

(2)、若函数 $y = g (x^{2} - 2 t x + 1)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $t$ 的取值范围．

(3)、不等式 $g (a^{2} x) > 2 g (x + 2 a - 6)$ 在 $x \in [4, 16]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知两个函数 $y = f (x)$ ， $x \in D_{1}$ ， $y = F (x)$ ， $x \in D_{2}$ 若对任意的 $x_{1} \in D_{1}$ ，存在唯一的 $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) F (x_{2}) = 1$ 成立，则称 $F (x)$ 为 $f (x)$ 的“友好函数”.

(1)、判断函数 $G (x) = \cos x$ ， $x \in [0, π]$ 是否为 $g (x) = \sin x$ ， $x \in [0, π]$ 的“友好函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $H (x) = \log_{2} x$ ， $x \in [m, n]$ 是 $h (x) = 2^{x}$ ， $x \in [- 2, - 1]$ 的“友好函数”，求 $n - m$ 的最小值；

(3)、已知函数 $Q (x) = \log_{2} (\frac{k x}{x^{2} + 4} + \frac{1}{4})$ ， $x \in [0, m]$ ， $q (x) = \sin (π x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{1}{6}, t]$ ，若 $Q (x)$ 是 $q (x)$ 的“友好函数”，且 $q (x)$ 也是 $Q (x)$ 的“友好函数”，求实数 $t$ 的值及 $m - k$ 的最大值.

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