广东省东莞市翰林高级中学2025-2026学年高一上学期期末适应性考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-17 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = \{2, x, x^{2}\}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $x$ 的值为

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、 $1$ D、 $0$

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2. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 \geq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 < 0$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 2 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 < 0$

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3. “ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知某扇形的弧长和面积均为 $2$ ，则该扇形的圆心角（正角）为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $π$ C、 $2$ D、 $1$

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5. 函数 $f (x) = 0 . 3^{x} - \sqrt{x}$ 的零点所在区间是（）

A、 $(0, 0.3)$ B、 $(0.3, 0.5)$ C、 $(0.5, 1)$ D、 $(1, 2)$

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6. 已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = x \sin x$ B、 $y = | x | \cos x$ C、 $y = x + \sin x$ D、 $y = - x \sin x$

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7. 已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ，若 $- 1 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (3 + 2 x)$ ，则 $f (\frac{57}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列计算正确的是（　　）

A、 ${(2^{\frac{1}{4}})}^{2} = \sqrt{2}$ B、 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ C、 $e^{2 \ln 3} = 6$ D、 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 8 = 3$

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10. 已知 $α \in (0, \frac{π}{4}) ， sin α cos α = \frac{12}{25}$ ，则（）

A、 $cos α + sin α = \frac{7}{5}$ B、 $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ C、 $sin α = \frac{3}{5}$ D、 $tan α = \frac{3}{4}$

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11. 已知 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{x}} - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ D、若方程 $|f (x) + \frac{1}{2}| = m$ 有两个不同的实数解，则 $0 < m < \frac{1}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的反函数过点 $(9,2)$ ，则 $a =$ ．

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13. 已知 $\cos φ = - \frac{1}{3} (π < φ < 2 π)$ ，则 $sin 2 φ =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = |lg x|$ ， $f (a) = f (b)$ ，且 $a \neq b$ ，则（1） $a b =$ ，（2）当 $2^{a} \cdot 3^{b}$ 取得最小值时， $\frac{a}{b} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 设集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 2}, B = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 4 < 0\}, C = \{x ∣ 2 - a \leq x \leq 2 a + 1, a \in R\}$ ．

(1)、全集 $U = R$ ，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 已知 $f (x) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + x) \cos (\frac{3 π}{2} - x) \tan (π - x)}{\cos (π - x) \sin (π + x)}$ ．

(1)、化简函数 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (α) = 3$ ，求 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 1 \\ x^{2} - 4 x, x > 1 \end{array}$ .

(1)、在给出的坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间和值域；

(2)、若 $f (x)$ 图象与直线 $y = k$ 恰有两个交点，写出 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上既有最大值，又有最小值，写出 $a, b$ 的取值范围．

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18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{matrix} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{matrix}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且函数图象是连续不断的.

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6})$ ， $(ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ， $g (x) = l n x + f (\frac{π}{16} x + \frac{π}{24}) .$

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的取值范围；

(2)、证明： $g (x)$ 在区间 $(0, 2]$ 上有唯一零点；

(3)、证明： $g (x) > 0$ 在 $(2, + \infty)$ 上恒成立．

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