湖南省衡阳市2025-2026学年高二期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2026-02-10 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |x + \frac{1}{x} < 0\}$ ， $B = \{x |4 - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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2. 设复数 $z = 6 + a i (a \in R)$ ，且 $|z| = 10$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、8 C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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3. 若点 $P (- 3, 4)$ 在直线 $k x - y + b = 0$ 上的垂足为 $(1, 2)$ ，则 $k + 2 b =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ ，圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 144$ ，则这两个圆的位置关系为（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内含

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5. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} + a_{7} = 28$ ， $a_{1} + a_{5} + a_{10} = 41$ ，则其前30项和 $S_{30} =$ （）

A、585 B、957 C、1020 D、1085

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6. $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ .记 $m (x)$ 的最大值为 $m {(x)}_{max}$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如： $[2.1] = 2$ ， $[- 0.1] = - 1$ ，若 $f (x) = 2 - |x|$ ， $g (x) = 2^{x}$ ，则 $[m {(x)}_{max}] =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 如图，正四面体 $P - A B C$ 的棱长为4， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $O$ 为垂足， $\vec{P D} = \frac{1}{4} \vec{P O}$ ，延长 $C O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\vec{C E} \cdot (\vec{A D} + \vec{P C}) =$ （）

A、12 B、 $- 12$ C、16 D、 $- 16$

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8. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，设 $P (\frac{3}{2}, 1)$ ，过 $F$ 且斜率存在的一条直线与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点.记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率依次为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \in (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $k_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2)$ B、 $(- 3 - \sqrt{3}, - 3)$ C、 $(- 4 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 4)$ D、 $(- 5 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 5)$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $A (- 2, 3, 1)$ ， $B (0, - 1, 4)$ ， $C (1, 3, - 5)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 5 \sqrt{2}$ B、与 $\vec{B C}$ 平行的一个单位向量是 $(\frac{\sqrt{2}}{14}, \frac{2 \sqrt{2}}{7}, - \frac{9 \sqrt{2}}{14})$ C、 $\vec{A B} ⊥ (3 \vec{A B} - 2 \vec{B C})$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(8, 7, 4)$

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10. 设公比 $q > 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ， $a_{1} a_{6} = 3$ ，则（）

A、 $q = 3$ B、 $\frac{S_{4}}{S_{3}} = \frac{40}{13}$ C、 $a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12} = 360$ D、若 $a_{m} a_{n} = 1$ ，则 $m + n = 6$

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11. 已知 $A_{1} (- 4, 0)$ ， $A_{2} (4, 0)$ ，点 $P$ 满足直线 $P A_{1}$ 与直线 $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为曲线 $C$ 的左、右焦点，若 $l$ 经过 $F_{2}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆分别与 $l$ 相切于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 8$ C、 $|A S_{1}| = |B S_{2}| = 2$ D、 $r_{1} r_{2} = |S_{1} F_{2}| |S_{2} F_{2}|$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，4个白球，这些球除颜色外，形状大小都相同.现从甲、乙两个盒子中各摸取一球，则摸取的两个球恰好一红一白的概率为.

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - \frac{1}{2} a_{n} = \frac{3}{2 n} a_{n}$ ，则 $a_{5} =$ .

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14. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $P A$ 的中点， $G$ 是线段 $P D$ 上的一点， $P A = A D = 2$ .若异面直线 $C F$ 与 $E G$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{41}}{41}$ ，则三棱锥 $P - E F G$ 的体积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{8} - 2 a_{1} = 6$ ， $S_{5} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{(3^{a_{n}} - 1) (3^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知点 $M (4, - 1)$ ，点 $N$ 在圆 $A$ ： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 上运动，线段 $M N$ 的中点 $B$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过圆心 $A$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(\frac{1}{a c} - \frac{1}{2 b c}) (b^{2} + a^{2} - c^{2}) = cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，求 $\frac{2 sin \frac{C}{2} sin \frac{A - B}{2}}{sin B}$ 的取值范围.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B D = \frac{2}{3} B B_{1}$ ， $A E = \frac{3}{4} A C$ .

(1)、求证： $A_{1} D ⊥ B_{1} E$ .

(2)、求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值.

(3)、在棱 $B C$ 上是否存在点 $F$ ，使得平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{21}}{28}$ ?若存在，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = a x$ 经过点 $P (\frac{1}{4}, 1)$ ，且 $F$ 为 $C$ 的焦点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程.

(2)、设 $A$ ， $B$ 为 $C$ 上两个不同的点，且 $O, A, B$ 三点不共线，直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ .
（i）试问直线 $A B$ 是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点位于 $O, F$ 之间，设 $F, O$ 两点到直线 $A B$ 的距离之和为 $d_{1}$ ， $A, B$ 两点到直线 $O F$ 的距离之和为 $d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的取值范围.

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