四川省达州中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2026-01-19 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{x ∣ x (x - 2) > 0\}, N = \{x ∣ y = {log}_{2} (1 - x)\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

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2. 下列函数是奇函数且在区间 $(0, 1)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = sin x$ B、 $y = 3^{- x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \sin x$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. “ $0 < a < b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin θ - \cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 设 $a = (\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}} ， b = (\frac{2}{5})^{\frac{1}{3}} ， c = (\frac{4}{5})^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，已知函数 $g (x) = \{\begin{cases} | \lg x |, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{cases}$ ，则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 5, 5]$ 内的零点个数为（）

A、 $13$ B、 $12$ C、 $11$ D、 $10$

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8. 已知函数 $y = \frac{2020}{x}$ 的图象分别与函数 $f (x) = {log}_{2} x$ 和 $g (x) = 2^{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，设两交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $2020^{2}$ B、 $4040$ C、 $2020$ D、 $1$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知 $1 < a < 6$ ， $2 < b < 5$ ，则（）

A、 $a + 2 b$ 的取值范围为 $(5, 16)$ B、 $a - b$ 的取值范围为 $(- 1, 1)$ C、 $a b$ 的取值范围为 $(2, 30)$ D、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为 $(\frac{1}{5}, 3)$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若α终边上一点的坐标为 $(3, - 4)$ ，则 $cos α = - \frac{4}{5}$ B、若角α为锐角，则2α为钝角 C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 $\frac{3 π}{2}$ D、若 $sin α + cos α = \frac{1}{5} ，$ 且 $0 < α < π$ ，则 $tan α = - \frac{4}{3}$

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11. 已知函数 $y = f (x + 1)$ 是R上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增， $a = f (\log_{2} 8)$ ， $b = f (- \ln 2)$ ， $c = f (e^{\ln 2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、a，b，c的大小关系是： $b < c < a$ C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上单调递减 D、关于x的不等式 $f (2 x) < f (x + 1)$ 解集为 $(\frac{1}{3}, 1)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = x^{3} - x$ 的零点个数是.

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13. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6} + θ) (0 < θ < π)$ 为奇函数，则 $θ =$ .

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14. 已知定义域为 $[- 5, 5]$ 的奇函数 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线．对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 5]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ ，则满足 $(2 m - 1) f (2 m - 1) \leq (m + 4) f (m + 4)$ 的实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |\frac{1}{3} < 3^{x + 1} \leq 27\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 > 0\}$ ， $C = \{x |m - 1 < x < 2 m + 1\}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} B) \cup A$ ；

(2)、若 $A \cap C = C$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x + \frac{π}{3})$ .

(1)、填写下表，并画出 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的图象；
$2 x + \frac{π}{3}$
$\frac{π}{3}$

$\frac{7 π}{3}$
$x$
0

$π$
$f (x)$

(2)、写出 $f (x) \geq 0$ 的解集.

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17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{matrix} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{matrix}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且函数图象是连续不断的.

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 3) \cdot x^{4 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (3 - x) < f (2 x + 1)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若对 $\forall x \in [1, 2]$ ， $\exists a \in [1, 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} - t + a + 1$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .
（1）证明： $f (x)$ 为偶函数；
（2）若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1, x \in [0, \log_{2} 3]$ ，是否存在 m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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$2 x + \frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7 π}{3}$
$x$	0	$π$
$f (x)$