四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-10 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x \in N| - 1 < x < 3\}$ ， $B = \{x| - 2 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| - 1 < x < 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2. 已知复数z=2+i，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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3. 已知 $A (2, 3)$ ， $B (5, 1)$ ， $C (m, 2)$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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4. 函数 $f (x) = 2 - e^{|x|}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知点 $P$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上一动点，若直线 $x - \sqrt{3} y + 6 = 0$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，满足 $|A B| = 4$ ，且 $∠ A P B = 90 °$ ，则 $r$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 1$ 且 $2 a_{n} + a_{n + 1} = 0$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ 的值为（）

A、32 B、16 C、 $- \frac{1}{32}$ D、 $- 32$

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7. 在同一平面直角坐标系内，函数 $y = f (x)$ 及其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 $(0, 1)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最大值为1 B、函数 $y = f (x) \cdot e^{x}$ 的最小值为1 C、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的最小值为1

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8. 某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）

A、45种 B、56种 C、90种 D、120种

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + φ)$ 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{2 π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ D、把函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $P$ 关于原点 $O$ 对称的点为 $Q$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 2$ C、点 $P$ 的纵坐标 $y_{0}$ 满足 $|y_{0}| = \frac{1}{3}$ D、 $|P Q| = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$

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11. 直线 $l$ ： $y = a x$ 与 $y = e^{x}$ 的图象交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点 $(x_{1} < x_{2})$ ， $y = e^{x}$ 在A､B两点的切线交于 $C$ ， $A B$ 的中点为 $D$ ，则（）

A、 $a \leq e$ B、点 $C$ 的横坐标大于1 C、 $|x_{1} - x_{2}| < \sqrt{{(a + 2 - e)}^{2} - 4}$ D、 $C D$ 的斜率大于0

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = 2 \cos x + \sin x$ 的最大值为.

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13. 如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底边长之比为 $1 : 2$ ，记三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} B$ 体积为 $V_{1}$ ，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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14. 对于实数 $x, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.6]= 0,[- 1.2] = - 2$ .已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $[S_{1}] + [S_{2}] + \dots + [S_{25}] =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知 $tan α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2}$ ）.

(1)、求 $\frac{sin α + 3 cos α}{2 cos α - sin α}$ 的值；

(2)、若 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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16. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\overset{⃑}{P Q} = 9 \overset{⃑}{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值.

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17. 如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} D C = 1$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .如图2， $B D$ 的中点为 $O$ .

(1)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D$ 的中点为 $G$ ，在线段 $A C$ 上是否存在点 $H$ ，使得平面 $G H B$ 与平面 $B C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$ ？若存在，求出点 $H$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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18. 已知 $x = 3$ 是函数 $f (x) = a \ln (1 + x) + x^{2} - 10 x$ 的一个极值点.
（Ⅰ）求 $a$ ；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）若直线 $y = b$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象有3个交点，求 $b$ 的取值范围.

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19. 自 $2019$ 年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，现对 $4$ 份样本进行核酸检测，求这 $4$ 份中检验结果为阳性的份数 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、若 $p = 1 - 2^{- \frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本等待检验，并提供“ $k$ 合 $1$ ”检验方案：将 $k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“ $k$ 合 $1$ ”检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E (X)$ 与 $2 k$ 的大小.

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