贵州省黔南布依族苗族自治州2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

试卷更新日期：2026-01-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1. 下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志性图案，其中是轴对称图形的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 若 $\frac{x - 1}{□}$ 是分式，则□可以是（）

A、 $π$ B、2025 C、0 D、 $x$

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3. 下列图形中，作 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的高，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 甲型 $H1N1$ 流感病毒的颗粒近似为球形，其直径大约为 $0.00000012 m$ ．数据 $0.00000012$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.12 \times 1 0^{- 6}$ B、 $1.2 \times 1 0^{- 6}$ C、 $1.2 \times 1 0^{- 7}$ D、 $12 \times 1 0^{- 8}$

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5. 下列计算正确的是 ( )

A、 $- 6 a^{3} \times 2 a^{2} = - 12 a^{6}$ B、 $a^{4} + a^{2} = a^{6}$ C、 $(3 x y^{2})^{2} = 6 x^{2} y^{4}$ D、 $(- m)^{7} \div (- m)^{2} = - m^{5}$

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6. 如图， $∠ A = 110 ° ， ∠ B = 30 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（）

A、 $110 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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7. 如图，在△ $A B C$ 和△ $D E C$ 中，已知 $C B = C E$ ，还需添加两个条件才能使△ $A B C$ ≌△ $D E C$ ，不能添加的一组条件是（）．

A、 $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ E$ B、 $A B = D E$ ， $A C = D C$ C、 $A B = D E$ ， $∠ A = ∠ D$ D、 $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ E$

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8. 如图，点O是 $△ A B C$ 的重心．若阴影部分的面积的和是6，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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9. 观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（）

A、作已知线段的垂直平分线 B、作一个角等于已知角 C、经过直线外一点作已知直线的垂线 D、作一个角的平分线

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10. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点D，E分别在 $A B ， B C$ 上，且 $B D = C E ， A E$ 与 $C D$ 相交于点F，则 $∠ A F D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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11. 随着人工智能的快速发展，某快递站使用 $AI$ 机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且 $AI$ 机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用 $2 h$ ，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（）

A、200件 B、300件 C、400件 D、500件

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12. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是（）

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 在平面直角坐标系中，若点 $A (a, - 3)$ 与点 $B (1, b)$ 关于y轴对称，则 $a + b$ 的值是．

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14. 分解因式：3a²-3 ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $B A = B C$ ， $∠ B = 120 °$ ， $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $A C$ 于点 $D$ ．若 $D C = 6 cm$ ，则 $A D =$ $cm$ ．

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16. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $B C$ 向终点C运动，连接 $D P$ ，将 $△ B P D$ 沿 $D P$ 进行折叠，点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ．在点 $P$ 的运动过程中，当点 $C$ 与点 $B^{'}$ 之间的距离最小时， $∠ B P D$ 的度数为．

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三、解答题（本大题共8小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （1）计算： $- 3 a (2 a^{2} - 4 a - 1)$ ；
（2）解方程： $\frac{3}{x + 2} = \frac{1}{x} ．$

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18. 如图，锦簇公园有一块三角形菊花地．为了能更好地赏花，现计划在 $A B$ 边上找一点D，向 $A C ， B C$ 边各修一条小路，且使得点D到 $A C ， B C$ 边的距离相等．请用直尺和圆规作出点D的位置，要求保留作图痕迹，不写作法．

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19. 先化简： $(1 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1}$ ，再从 $0 ， - 1 ， 1 ， 2$ 这四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．

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20. 数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．

(1)、请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1：；方法2：

(2)、观察图2，请你写出代数式 ${(a + b)}^{2} ， a^{2} + b^{2} ， a b$ 之间的等量关系：

(3)、根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知 $a + b = 5 ， a^{2} + b^{2} = 15$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 ${(2025 - a)}^{2} + {(a - 2026)}^{2} = 7$ ，求 $(2025 - a) (a - 2026)$ 的值．

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21. 如图，在平面直角坐标系中（不完整），每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于y轴对称．

(1)、在图中补全y轴和原点O，并直接写出点F关于x轴对称的点的坐标．

(2)、若A，B，C是三个村庄，现要在公路边（x轴上）建一货栈P，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是 $P \to A \to B \to C \to P$ 或 $P \to C \to B \to A \to P$ ．试判断在公路边是否存在一点P，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点P所在的位置；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点D， $E F ⊥ A B$ 于点F， $E G ⊥ A G$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $G$ ，且 $E F = E G$ ，连接 $A E$ ．求证：

(1)、 $A E$ 平分 $∠ B A G$ ；

(2)、 $A B = A C + 2 B F$ ．

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23. 贵州的花江峡谷大桥以 $625$ 米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款 $2.5$ 万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工．

(1)、设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示）

(2)、请你列方程求出这项工程的规定工期．

(3)、若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由．

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24. 如图，A，B，C三点在同一直线上，等边三角形 $A B E$ 和等边三角形 $B C D$ 在线段 $A C$ 同侧，连接 $A D$ ，交 $B E$ 于点M，连接 $C E$ ，交 $B D$ 于点N．

(1)、如图1，当 $B$ 是 $A C$ 的中点， $A C = 8$ 时， $A E$ 的长为， $∠ A B D$ 的度数为；

(2)、如图2，当 $B$ 不是 $A C$ 的中点时，求证： $△ B C E ≌ △ B D A$ ；

(3)、在（2）的条件下，连接 $M N$ ，试探究 $M N$ 与 $A C$ 之间的位置关系，并说明理由．

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