人教版八年级下数学进阶测试 19.3 二次根式的加法与减法（三阶）

试卷更新日期：2026-02-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. a，b为有理数，且满足等式 $a + b \sqrt{3} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}}$ ，则a+b 的值为( ).

A、2 B、4 C、6 D、8

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2. 计算 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2024} \times (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2025}$ ，结果是( )

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ B、-1 C、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

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3. 下列说法正确的有（　　）个．
①任何实数都可以开立方；②0的相反数、倒数、平方都是0；③数轴上的点和有理数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数都是无限小数．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 与 $\sqrt{18}$ -3最接近的整数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是分数 B、16的平方根是±4，即 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、8.30万精确到百分位 D、若 $\sqrt{a - 2022} + | b + 1 | = 0$ ，则 $b^{a} = 1$

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6. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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7. 已知 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $max {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =81﹒当 $max {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{512}$ B、 $\frac{1}{256}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{16}$

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8. 已知两个二次根式： $\sqrt{x + 1}$ ， $\sqrt{x}$ （ $x \geq 0$ ），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将 $\sqrt{x + 1}$ 与 $\sqrt{x}$ 的和记为 $M_{1}$ ，差记为 $N_{1}$ ；
第二次操作：将 $M_{1}$ 与 $N_{1}$ 的和记为 $M_{2}$ ，差记为 $N_{2}$ ；
第三次操作：将 $M_{2}$ 与 $N_{2}$ 的和记为 $M_{3}$ ，差记为 $N_{3}$ ；
…；
以此类推．
下列说法：
①当 $x = 1$ 时， $N_{2} + N_{4} + N_{6} + N_{8} = 30$ ；
② $M_{12} = 64 \sqrt{x + 1}$ ；
③ $M_{2 n + 1} \cdot N_{2 n + 1} = 2^{2 n}$ （n为自然数）．
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知 $a_{0} = \sqrt{5}$ ，将 $a_{0}$ 的整数部分加上 $a_{0}$ 的小数部分的倒数得到 $a_{1}$ ，再将 $a_{1}$ 的整数部分加上 $a_{1}$ 的小数部分的倒数得到 $a 2$ ，以此类推可得到 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，如 $\sqrt{5}$ 的整数部分为 $2$ ，小数部分为 $\sqrt{5} - 2 .$ 所以 $a_{1} = 2 + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 4 .$ 根据以上信息，下列说法正确的有( )
$① a_{3} = \sqrt{5} + 12$ ；
$② a_{2025}$ 的小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ；
$③ a_{23} - a_{22} = \sqrt{5} + 2$ ；
$④ \frac{1}{(a_{2} - \sqrt{5}) (a_{4} - \sqrt{5})} + \frac{1}{(a_{4} - \sqrt{5}) (a_{6} - \sqrt{5})} + . . . + \frac{1}{(a_{98} - \sqrt{5}) (a_{100} - \sqrt{5})} = \frac{49}{3200}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题

10. 计算 $(\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}) \times \sqrt{3}$ 的结果是.

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11. 若 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则代数式 $(2 + \sqrt{2} a) \cdot b$ 的值是．

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12. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则代数式 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的值是．

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13. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，把 $\sqrt{3}$ 用含 $x$ 的有理系数的三次多项式表示，即 $\sqrt{3} = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a, b, c, d$ 为有理数，且 $a \neq 0$ ），则这个三次多项式为.

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14. 阅读理解：对于任意正整数a，b，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，等号成立；结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （a、b均为正实数）中，只有当 $a = b$ 时， $a + b$ 有最小值 $2 \sqrt{a b}$ .若 $m > 1$ ， $\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m} - 1}$ 有最小值为．

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15. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 ， \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} ，$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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三、解答题

16. 求比 ${(\sqrt{6} + \sqrt{5})}^{6}$ 大的最小整数.

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17.

(1)、设实数x，y 满足 $(x + \sqrt{x^{2} + 1}) (y + \sqrt{y^{2} + 1}) = 1 ，$ 求x+y的值.

(2)、已知实数x，y 满足 $(x + \sqrt{x^{2} + 2002}) (y + \sqrt{y^{2} + 2002}) = 2002 ，$ 求 $x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 58$ 的值.

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18. 阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1 ， (\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3 ，$ 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} =$ $\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3} .$ 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式是， $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得.

(2)、计算：
① $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} .$
② $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2003} + \sqrt{2004}}$ .

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19. “比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{matrix} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{matrix}$ ；
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
∵ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ 又∵ $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$ 则 $4 < \sqrt{19} < 5$
∴ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， ∴ $\sqrt{19} - 2 > 2$ ．
请根据上述方法解答以下问题：

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是________， $\sqrt{29}$ 的小数部分是________；

(2)、比较 $2 - \sqrt{23}$ 与 $- 3$ 的大小．

(3)、已知 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ，试用“比差法”比较 $\sqrt{100} + \sqrt{98}$ 与 $2 \sqrt{99}$ 的大小．

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20. 如图@是一张等腰直角三角形彩色纸， $A C = B C = 20 \sqrt{2} c m .$ 现要裁出几条宽度都为5 $\sqrt{2}$ cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形照片 EFGH镶边（纸条不重叠），如图ⓑ.图①和图②是两种不同裁法的示意图.

(1)、求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；

(2)、分别计算两种裁法得到的长方形纸条的总长度；

(3)、这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH 的最大面积为cm².

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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