人教版八年级下数学进阶测试 19.3 二次根式的加法与减法（二阶）

试卷更新日期：2026-02-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$

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2. 估计 $\sqrt{\frac{1}{5}} \times (\sqrt{45} + \sqrt{15})$ 的值在（）

A、3到4之间 B、4到5之间 C、5到6之间 D、6到7之间

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3. 若算式（2+2√2）※（1+√2）的结果是有理数，则※表示的运算符号是（）

A、+ B、一 C、x D、÷

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4. 若 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，则 $\frac{x^{2} - x + 2 \sqrt{3}}{{(x^{2} - x)}^{2} - 1 + \sqrt{3}}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 若 $\sqrt{6} - 1$ 的小数部分是a，则代数式 $a^{2} + 4 a$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{6} - 3$ B、 $4 \sqrt{6} - 6$ C、 $2 + 4 \sqrt{6}$ D、2

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6. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为 $S_{1} = 18$ ， $S_{2} = 12$ ，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（）

A、6 B、8 C、 $8 \sqrt{6} - 6$ D、 $8 \sqrt{6} - 8$

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7. 对于任意的正数 $m$ ， $n$ ，定义新运算： $m ※ n = \{\begin{array}{l} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n), \end{array}$ 计算 $(5 ※ 3) \times (12 ※ 20)$ 的结果为（）

A、 $4 - 4 \sqrt{15}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}$ C、4 D、32

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8. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a；b，c，记 $p = \frac{a + b + c}{2},$ 那么面积S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} .$ 若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积 S 介于整数n 和n+1之间，则n的值为 ( )

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ =.

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10. 当 $x = \sqrt{2} + 1$ 时，则代数式 $(1 - \frac{3}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 4}$ 的值为.

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11. 解关于x的方程组 $\{\begin{matrix} x + 2 y = 3 m \\ x - y = 9 m \end{matrix}$ ，当m满足方程5x+8y=38时，m= ．

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12. 【规律探究题】观察下列运算：
①由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ；
②由 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；利用发现的规律计算：
$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2019}} =$ .

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三、解答题

13. 先化简，再求值： $\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} - x y} \div (x + \frac{2 x y + y^{2}}{x}) \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ 其中 $x = 2 + \sqrt{3}, y = 2 - \sqrt{3}$

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14. 阅读与思考
阅读材料：像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ ， $\sqrt{a} · \sqrt{a} = a （ a \geq 0 ）$ ， …这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，再如 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 与 $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ 也互为有理化因式，在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，数学课上，老师出了一道题“已知 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求3a²-6a-1的值.”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
∵ $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{（ \sqrt{2} - 1 ）（ \sqrt{2} + 1 ）} = \sqrt{2} + 1$
∴ $a - 1 = \sqrt{2}$ .
∴（a-1）²=2，
∴a²-2a=1，
∴3a²-6a=3，
∴3a²-6a-1=2，
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：

(1)、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是.

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ .

(3)、若 $a = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求2a²-12a-1的值.

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15. 综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.

(1)、若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 $\sqrt{3}$ dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.

(2)、若畅畅的方案中正方形②的边长为 $4 \sqrt{2}$ dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.

(3)、若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 $\sqrt{2}$ dm，则的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)

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16. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．

(1)、圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；

(2)、请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．

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二、填空题

三、解答题

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